南开大学2020年研究生入学考试高等代数试题解答

NKU202001 求矩阵

的逆矩阵.

解 考虑将

由初等行变换变为

,即

NKU202002 设矩阵

求正交矩阵

与对角矩阵

,使得

.

解 记

,其中

则由第四版复旦高代白皮书例6.19可知

再计算属于特征值

以及

的两两正交的特征向量,得到

满足题意.

NKU202003 证明矩阵

与

不相似,其中

证明 计算可知

和

的特征多项式都是

,但

属于特征值

的几何重数是

,而

属于特征值

的几何重数是

,故

与

不相似

NKU202004 已知

是有限维欧氏空间

中的线性变换,满足

,证明:

证明 注意到对任意的

,有

,则

,这意味着

,即

,故

NKU202005 设

是

的一组基, 

是

的一组基,证明: 

是

的一组基.

证明 设

阶矩阵

,记

, 

,设

由于是分别由一组基拼成,故

都是可逆矩阵,故

,即

,即

是

的一组基.

NKU202006 设

有

个互不相同的特征值

,定义

上的线性变换

为

其中

,证明:

是

的特征值.

证明 由于

与

具有相同的特征值,设

,其中

分别是

对应于不同特征值的特征向量,取

,计算可知

是

的特征值.

NKU202007 设

是次数不超过

的实系数多项式,证明:存在不超过

的实系数多项式

,使得

对任意实数

都成立.

证明 设

是关于

的线性组合,即,不妨设此时

,即关于

的升幂排列,故有其中

是化简后的系数.即关于

的线性方程组共有

个方程,有

个未定元,此时方程组有非零解,故存在不超过

的实系数多项式

,使得

对任意实数

都成立.

NKU202008 设

为

阶实对称阵,且

,证明:存在

阶实矩阵

,使得

.

证明 取

满足题意.

NKU202009 设

为

维实线性空间,若存在

上的可逆线性变换

,使得

求所有正整数

可能的取值.

证明 不妨取一组基,使得在这组基下

的表示矩阵分别为

,故要求

与

相似,设

的特征值为

,于是且

,故若

,则

,这与可逆线性变换矛盾,当

时,有

计算可知

故此时

适合特征多项式

,取

满足题意.下考虑一般的情形.当

为奇数时,则

至少有一个实特征根,从而

是

的特征值.即

是

的置换.不妨设

,由于

在

上单调递增,于是

即

,得到

,但可逆矩阵不存在零特征值,故

不能是奇数.当

为偶数时,取

即可.综上,当

是偶数时满足题意.