南开大学2021年研究生入学考试高等代数试题解答

NKU202101 计算行列式

的值.

解 设

则由分块矩阵的降阶公式得到

NKU202102 设

为

阶方阵,且

,求

.

解 注意到

,记

,其中

,又有

的子式故

,即

.

NKU202103 设

为

阶实对称方阵,

的特征值为

,且

是属于特征值

的特征向量.

(1)求属于特征值

的特征向量.

(2)求方阵

.

解 (1)设属于特征值

的特征向量为

,由实对称阵的性质知

,取

满足题意.

(2)设存在正交阵

,使得

,于是

NKU202104 设

皆为

阶非异阵,若满足

,证明:

.

证明 注意到

,对上式分别左乘

,左乘

,得到

即

,又

皆非异,故两边同时取行列式有

,故

.

NKU202105 在

中,设线性方程组

的解空间分别为

和

.

(1)证明

是

的三维子空间.

(2)求线性函数

,使得

.

证明 (1)计算可知

,则

,故

,即

是

的三维子空间.

(2)由(1)知

的一组基可以是

,于是

即求解线性方程组

有解

,于是

满足题意.

NKU202106 给定

上的

阶方阵

和

阶方阵

,在

维复空间上定义线性变换

如下

若

没有公共特征值,则

是非异变换.

证明 由第四版复旦高代白皮书例6.91可得.

NKU202107 在

维实线性空间上定义二次型

,求

的正负惯性指数.

证明 由第四版复旦高代白皮书例8.36可得.

NKU202108 设

是

维线性空间

上的线性变换,

,

,证明:

.

证明 由第四版复旦高代白皮书例4.35可得.

NKU202109 若

阶方阵

满足

且

,证明:

.

证明 事实上我们有

于是