浙江大学2020年研究生入学考试高等代数试题解答

ZJU202001 若

已知

,求

.

解 注意到

当

为奇数时,有

故

.

当

为偶数时,由第四版复旦高代白皮书例1.16可得

.

ZJU202002 若

为复数,证明:

在复平面上共线当且仅当

证明 设,若共线则,即

以及

比较上述二式,命题得证.

ZJU202003 若

为实方阵,并且存在

阶可逆复方阵

,使得

,证明:存在

阶非异实方阵

,使得

.

证明 设

,其中

,于是有

故得到.考虑多项式

,由于

可逆,于是

,于是非零多项式

有

个复根,不妨取

,使得

,于是

且可逆,满足

.

ZJU202004 设

为非异实方阵,证明:存在唯一的负定矩阵

与正交矩阵

,使得

.

证明 考虑

的奇异值分解

,其中

是正交矩阵

,且

是负定实对称阵.

ZJU202005 设

为

阶复方阵,并且

,记

,证明:

当且仅当

.

证明 由第四版复旦高代白皮书4.60可得.

ZJU202006 设

是复向量空间,

是

的子空间,

,记

,证明:

.

证明 对任意的

,存在

,使得

,于是

,于是

,同理可证明

,于是

.

ZJU202007 设

为

阶复方阵,并且

是幂零矩阵,证明:

与

相似.

证明 由第四版复旦高代白皮书例7.75可得.

ZJU202008 设

是复数域上的

维线性空间,

是

的一组基,

为

阶方阵,

当且仅当

,否则

.已知

上的线性变换

在基

下的表示矩阵为

.令

为

中由

的前

个向量

生成的子空间

,证明:

(1)

为

上的

不变子空间,且

当且仅当

.

(2)若

是

的

维

不变子空间

,则

.

证明 (1)注意到

是

上的

不变子空间,进一步由故

,于是

,再由

,即不存在

以外的向量使得

.

(2)设

是

的

维

不变子空间

,则取一组基

,扩充为

的一组基

则

只要说明

即可,注意到

限制在

上的表示矩阵为

,于是

,于是

,于是

.

ZJU202009 设

是欧氏空间

的一组标准正交基,

是

中的

个向量,且

证明:

是

的一组基.

证法1 设

,即证明

,若不然则存在非零的

,使得

, 由Cauchy不等式得

是

的一组基.

证法2 设,下证明过渡矩阵

可逆.有

由第四版复旦高代白皮书例3.83可得

是可逆矩阵,故

可逆,即

是

的一组基.

ZJU202010 设

,设

是

阶方阵,证明:

(1)对于任意正整数

,

(2)存在

阶整数方阵

,使得

的充分必要条件是存在

个互不相同的整数

使得

阶方阵

满足

证明 (1)设,于是存在

,使得

, 将第

列乘以

加到第一列,得到

所以.

(2)不妨设

由于

则

,于是等价于证明

的充分必要条件是

.由于

,于是

进而

,于是

;若

,则

取

即可.