浙江大学2022年研究生入学考试高等代数试题解答

ZJU202201 设

阶矩阵

的

元

的代数余子式为

,且对任意的

,有

,求

.

解 计算可知

即

,若

是非异阵,对两边同时取行列式有

此外当

时,

;进一步分

是奇数和偶数讨论,有

ZJU202202 问

为何值时,下列方程组有解,并求其解.

解 对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换有

方程组有解则

,即

,求出

.于是方程组化为

故原方程的通解为

其中

为任意常数.

ZJU202203 设

是

元多项式,再设

是对称有理函数,证明:存在对称多项式

,

,使得

证明 由于

,于是对任意的全排列

,都有

,从而

ZJU202204 已知欧氏空间

在自然基下的度量矩阵为

设

,且它们的夹角为

,求

的值.

解 计算可知

,其中

,故

.

ZJU202205 设,

是

上的线性变换,且

定义对偶空间

上的映射

如下:

(1)证明:

是

的一组基;

(2)求

的对偶基;

(3)求变换

在该对偶基下的表示矩阵.

解 (1)注意到

,故

是

的一组基.

(2)设

的对偶基是

,则

,设标准正交基为

可知其对偶基为

(3)记

在

下的表示矩阵为

,则变换

在对偶基

下的表示矩阵为

,则

ZJU202206 证明: (1)不存在矩阵

,使得

;

(2)存在实矩阵

,使得

,其中

证明 (1)由题意可知

,又

的特征值全部为

,故

的Jordan标准型为

,而

,故不存在矩阵

,使得

.

(2)注意到

,其中

,不妨考虑

即

在基

下的线性组合,而故

满足题意,此时

ZJU202207 设

阶矩阵

,且

求

的特征多项式和极小多项式.

解 注意到

,其中

由于故而即特征多项式进一步注意到

有一个

阶行列式因子为

,故

的全体不变因子为

,即极小多项式等于其特征多项式.

ZJU202208 设

是

阶实对称阵,

,已知

,且

的两个特征向量为

且

不是

的特征向量.求

和

.

解 由于

的特征值只能是

,而

则

的特征值全为

,这与

不是

的特征向量矛盾,故

的全体特征值为

,且

是属于特征值

的特征向量,由于属于不同特征值的特征向量互相正交,故属于特征值

的特征向量可以是

,故

由于

,故

进一步有

ZJU202209 设

的秩为

,

的秩为

,

是数域

上全体

阶方阵组成的线性空间,

是数域

上全体

阶矩阵组成的线性空间.定义映射

为

求

和

.

解法1 我们用Kronecker积求解,由题意可知存在非异阵

,使得

解法2 由相抵标准型代入

对应的分块矩阵求解,细节请读者自己完成.

ZJU202210 对任意的

,证明:存在以特征值为

的循环矩阵

证明 设基础循环矩阵以及多项式

计算可知

,而

,故

的特征值为

的特征值为