秦 靖高中数学教学中开放式教育的思考与探讨--推荐人：胡阳新

湖北省巴东县第二高级中学  秦 靖  邮编：444324

开放教育已成为全世界的热点。开放教育的核心是培养学生的创造意识和创造能力。那么，在教材还没有提供足够的开放题之前，“好的开放题从那里来？我认为要从以下几个方面去探讨。

    一、意识的开放

    首先要改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识。学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解题的新方案；即使为了应试，就题论题的学习也是事倍功半，如一九九八年全国高考试题第(19)题：“关于函数f(x)=4Sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4Cos(2x-π/6):③y=f(x)的图象关于点(-π/6，0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。其中正确的命题是──(注：把你认为正确的命题的序号都填上)”显然《高中代数》上册第184页例4“作函数y=3Sin(2x+π/3)的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。

  二、问题的开放

    有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下模式：

问题本身的开放  获得新问题                问题解法的开放  获得新思路

    示例1。(《高中平面解析几何》习题四第11题)求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线方程。

    解法开放：通常是先求交点坐标，再由交点坐标求直线方程。如果对由目标分解出的两个要素进行适当解释：过交点——由两曲线方程组成的方程组的解是所求方程的解，直线——所求的方程为一元二次方程，那么，只要由第一条曲线方程乘以3与第二条曲线方程相减便可得到所求的直线方程7x-4y=0；如果从“直线”入手，再考虑“过交点”，则可引入直线方程，运用待定系数法求解。

   示例2。(《高中代数》下册第12页例7)已知a、b、m∈R+,并且a<b,求证(a+m)/(b+m)> a/b。

    解法开放：除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点(b,a)、(-m,-m)的连线的斜率大于两点(b,a)、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。

     示例3。(《高中平面解析几何》复习参考题二第11题)由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。(答案：x2/4+y2=1)

    问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。

    对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A(大小或形状或位置)就可使问题向三个方向延伸。

    如改变位置，将A写成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的轨迹方程为(x-a)2+(2y-b)2=4；再将其特殊化(取a=0)，并进行新的组合便有问题：圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由。

    简解：解方程组

            x2+(y-b)2=4

           x2+(2y-b)2=4

得  y=0 或y=2b/3

    当y=0时，x2+b2=4，

        若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点；

        若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；

        若 -2<b<2，圆与椭圆恰有二个公共点。

    当y=2b/3时,x2+b2/9=4，

        若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点；

        若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点；

        若-6<b<6，圆与椭圆恰有二个公共点。

    综上所述，圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4，当b<-6或b>6时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当-6<b<-2或b=0或2<b<6时恰有二个公共点；当b=±2时恰有三个公共点；当-2<b<0或0<b<2时恰有四个公共点。

    上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。

    再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+(y-b)2=4上的点到椭圆x2+(2y-b)2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。

    对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其进到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。

    开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。

    “所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。…每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。”(2)具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。

三、学生数学思维能力的开放

培养训练和发展学生的发散思维是培养创造人才的重要途径之一，而课堂教学是培养学生发散思维的主渠道，要求教师在钻研大纲、教材和研究生的基础上，精心设计教学方案，选择恰当的教学方法，不断寻找合理的发散点，启发和训练学生的发散思维。

1、消除影响发散思维的障碍——思维定势

思维定势就是按着一种固定的思路考虑问题，表现出思维的一种倾向性，它有积极性的一面，在条件不变的情境时，定势思维能使人迅速从“知识库”中提取已掌握的知识，迅速地解决问题，提高思维效率形成。因此，及时帮助学生消除思维定势的影响，扫除造成思维僵化的障碍，是培养学生思维需要解决的首要问题。教师应引导学生充分利用发散思维，从不同的角度和不同的方法加以分析。

2、开启发散思维的钥匙——启发设疑

学生的创造性思维是遇到了要解决的问题引发出来的。问题是激发思维的起点，矛盾是推动思维的动力。问题设计得科学艺术，能激起学生动机，开阔学生思路，诱发求知的欲望，使学生的思维由潜伏状态转入活动状态，有利于发散思维的形成。设疑要从学生熟悉的角度和关心的事物入手，提出具有趣味性、启发性、探索性的问题，使学生产生探究的认知心理。

3、培养发散思维的途径——创设情境

学生创造性思维的激发，往往与一定的情境有关。在教学中，教师要选择合适的散发点，精心创设问题的情境。如在教《平面向量》复习课时，教师利用多媒体，将案例中的例子的图片展示给学生看，然后让学生认真观察该例题，设计题目。许多学生可能答不全，但可以让更多的学生思考。最后，教师和学生一起对很多答案进行有条理的归纳整理。接着，让学生思考：本章所学的知识点有哪些，用笔记录下来。小组合作交流，展示后，要求学生做刚才设计出来的题目。这激发了学生的求知欲，有效地训练了学生的发散性思维。教师善于创设问题情境，精心设计发散性问题，这是帮助学生克服思维呆板、僵化的有效途径。

4、提高发散思维的质量——总结归纳

发散思维的特点是发散辐射广，思维方向多。在教学学习中常会遇到这样的题目：一题能否多解，一题能否多变？这类题目凸显了数学学习生在过程、积累以及实践运用等特点。

因此，在训练学生思维的辐射的同时，还要进行思维的综合，也就对发散的结果进行归纳和整理，找出共同的本质的特征，这是提高发散思维质量的归宿。实际上，创造性思维的形成是发散思维和综合思维协调统一，综合运用，辩证发展的结果，它们互为前提，互相促进。教师要能够充分启发学生的观察力和想象力，让学生的思维发散开去，努力培养学生的创新思维的习惯。

总之，教育并不单纯地传授知识，而是在尊重学生个性的前提下让学生主动地去触摸知识，使他们在学习中获得思维的解放、思维的锻炼人格的升华，帮助学生实现自我，完善自我，超越自我，让他们在课堂上充分展示其人格魅力，尽快地成为独立的人，创造的人，审美的人，全面发展的人。