好题解析：正难则反，利用反证法证明无理数

这是一道初中数学竞赛的题目，考查有理数和无理数的性质及证明。

在一般的考试中，是不太会出现这种题目的，

但反证法在数学证明中也是很常用的。

我们一起来看看这道题目，

已知条件很简单，x和y都是有理数，根号x和根号y是无理数，

让我们证明根号x加上根号y的结果是无理数，

在证明这道题题之前，我们得有这样的知识储备：

两个有理数经过加、减、乘、除运算之后，结果还是有理数；

两个无理数经过加、减、乘、除运算之后，结果可能是有理数，也可能是无理数。

对于这道题目，该如何来证明了，

就题目目前的条件来看，

按照常规的思路，从已知条件出发向结果去推进很有难度，

甚至是无从下手，

那么该怎么去证明呢？

别忘了虽然不常用，但关键时候很好用的反证法

对于一些按常规思路去证明比较困难的题目，我们可以考虑用反证法来证明，也就是“正难则反“，

怎么用反证法呢？

先从要证明的结论的反面入手，

不是要我们证明根号x加上根号y的结果是无理数，

假设：根号x加上根号y的结果是有理数，

这是反证法的第一步，也是很关键的一步，

接着，我们就可以在假设的基础之上进行下一步的运算和证明，直到得到与题目已知条件相悖也是就相反的结论时，

就可以证明假设是不成立的，

既然假设不成立，

那么原来的结论就应该是成立的。

我们来看看接下来的过程和思路，

在假设根号x加上根号y的结果是有理数的基础上，

我们想到了根式有理化，

给（根号x加上根号y）乘以（根号x减去根号y），得到x-y，

因为假设的根号x加上根号y是有理数，

两个有理数x和y的和也是有理数，

则可以得到根号x减去根号y也是有理数这个结论，

接着，我们用（根号x加上根号y）减去（根号x减去根号y），

得到2倍的根号x，

因为假设的（根号x加上根号y）是有理数，

在此基础上证明了（根号x减去根号y）是有理数，

因此他们相加的结果也必然是有理数，

于是就得到了根号x为有理数这个结论，

但我们发现，题目中已经明确了根号x是无理数，

所以这个假设的基础上，我们得到了一个与已知条件相悖的结论，

所以假设不成立，也就是根号x加上根号y是有理数不成立，

那么，就可以得到根号x加上根号y是无理数。

这道题所运用的方法和思路在我们的学习中会经常用到，

关键字就是四个：正难则反’

思路就是，先假设结论不成立，也就是假设一个跟需要证明的结论刚好相反的结论，在这个假设的基础上进行运算和证明，最终得到一个 已知条件相反的结论，就可以证明假设不成立，也就可以证明原结论成立。

视频讲解：