概率为0的事件就肯定不可能发生吗？你根本不懂概率！

在闭区间[0，1]上任取一点，对应的实数是有理数的概率是多少？

关于这个问题的结论，一直争论不休。今天笔者斗胆再来挑战一下这个充满争议的问题，严格证明区间[0，1]上取到有理数的概率为0。

首先我们解释清楚什么是实数？什么是有理数？什么是无理数？

所谓有理数是指有限小数或无限循环小数，这里将整数视为有限小数。所有的有理数都可以写成既约整分数的形式，这里将整数视为分母为1的分数。所谓既约整分数就是指分子分母都是整数并且约到最简的分数。

若a∈有理数集Q，则a=m/n，这里m、n∈整数集z，且(m，n)=1，n≠0。这里符号(m，n)，代表正整数m和n的最大公约数，若(m，n)=1，则称m和n互质。

无理数是指无限不循环小数，任何无理数都不能写成两个整数相除的分数形式。

有理数集Q和无理数集构成实数集R。也就是说，在实数范围内，除了有理数就是无理数。有理数集和无理数集的交集是空集∅，并集是实数集。

我们首先来思考这样一个问题：

在区间[0，1]上任取一点，取到有理数1/2对应的点的概率是多少？

要想解决这个问题，我们需要知道概率是如何计算的。

从古典概率的角度来看：

若整体事件包含n个等可能事件，所求事件A包含其中m个等可能事件，则事件A发生的概率：

P(A)=m/n

注意：在古典概率中，这里的m和n必须为有限个事件。

回到这个问题，整体事件为在“在闭区间[0，1]上任取一点”。很显然，区间[0，1]上有无穷多个点。所以整体事件有无穷多个，不符合古典概率的条件。

所以，这个问题只能用几何概率来解释。几何概率与古典概率的本质区别就是，样本总数是无限个的。我们在描述样本总量时不是用数量来描述，而是用测度来描述的。

一条线段的测度就是这条线段的长度；一个平面图形的测度就是这个图形的面积；一个立体图形的测度就是这个图形的体积。

闭区间[0，1]上所有点的测度，就是区间[0，1]的长度d=1-0=1。而一个点1/2的长度显然是0。所以取到点1/2的概率为：

P=0/1=0

实际上，在区间[0，1]上任取一点，无论这个点是有理数还是无理数，其概率都是0。

那么问题来了？概率为0的事件有可能发生吗？

在古典概率的角度，由于样本总数必须是有限的，所以概率为0的事件也称为不可能事件，是绝不可能发生的。

但在几何概率的角度，由于样本总数是无限的，所以只要所求事件的样本数是有限的，概率就是0，因为有限除以无限必然为0。

概率为0的事件完全有可能发生。

也就是说，在纯理论的角度，我们完全可以取到1/2这个点，但是却说取到1/2这个点的概率是0。

我们再看一个简单的例子，在区间[0，1]上任取一点，落在区间[1/3，2/3]上的概率为多少？

根据测度论体系，所求概率为区间[1/3，2/3]的测度比上区间[0，1]的测度，也就是区间[1/3，2/3]的长度比上区间[0，1]的长度。

[1/3，2/3]的长度为2/3-1/3=1/3

[0，1]的长度为1-0=1

所以所求概率为P=1/3：1=1/3

好了，现在回到最开始的问题：

在闭区间[0，1]上任取一点，这个点对应的实数是有理数的概率是多少？

把这个问题转化一下，就是问在区间[0，1]上，所有有理数的点组成的集合对应的长度比上区间[0，1]的长度1。

接下来我们来讨论：在区间[0，1]上，所有有理数的点组成的集合对应的长度为多少？

我们假设在区间[0，1]上所有的有理数分别为：

q1、q2、q3、…

取任意足够小的正数ε＞0，令

q1∈(q1-ε/4，q1+ε/4)

q2∈(q1-ε/8，q1+ε/8)

q3∈(q1-ε/16，q1+ε/16)

…………

(q1-ε/4，q1+ε/4)的长度为：

(q1+ε/4)-(q1-ε/4)=ε/4+ε/4=ε/2

(q1-ε/8，q1+ε/8)的长度为：

(q1+ε/8)-(q1-ε/8)=ε/8+ε/8=ε/4

(q1-ε/16，q1+ε/16)的长度为：

(q1+ε/16)-(q1-ε/16)

=ε/16+ε/16=ε/8

…………

显然，所有有理数的集合

{q1，q2，q3，…}的长度：

一定小于每个点所在区间的长度和

d＜ε/2+ε/4+ε/8+…

注意到数列ε/2，ε/4，ε/8，…

构成一个首项a1=ε/2，公比q=1/2的无穷递缩等比数列

根据等比数列求和公式：

Sn=[a1×(1-q^n)]/(1-q)

当-1＜q＜1时

lim(q^n)=0，n→∞

无穷递缩等比数列所有项之和

S=lim(Sn)

=lim{[a1×(1-q^n)]/(1-q)}

=[a1×(1-0)]/(1-q)=a1/(1-q)

n→∞，-1＜q＜1

S=a1/(1-q)

由于-1＜q=1/2＜1，所以

S=ε/2+ε/4+ε/8+…

=(ε/2)/(1-1/2)=(ε/2)/(1/2)=ε

d＜ε/2+ε/4+ε/8+…=ε

注意到ε是任意足够小的正数

也就是说d比任意小的正数还要小

而长度d必然大于等于0

那么d只能为0

因为如果d＞0

则必能找到0＜ε=d/2＜d

这与d＜ε矛盾

所以，所有有理数的集合{q1，q2，q3，…}的长度d=0

也就是说，取到有理数的概率P=0/1=0

至此，我们终于严格证明了这一结论，但问题也随之而来。

为什么我们有可能取到有理数，但却说取到有理数的概率是0呢？刚才我们讲到取有限点集的概率为0，而有理数集是无限点集，为什么取到有理数的概率还是0呢？

其根本原因就在于区间上的一些点集相对于整个区间而言，是可以忽略不计的。尽管有理数集有无穷多个，但这无穷多个点集的长度是0，所以取到有理数的概率也是0。

我们也可以这样来理解，尽管有理数集有无穷多个，但相对于整个区间上所有实数的无穷大而言，有理数集的无穷大是低阶无穷大，而低阶无穷大除以高阶无穷大等于0，自然取到有理数的概率就是0。

到这里，你又产生了新的疑问。既然有理数集我们可以这样操作来证明长度为0，那我们也可以采用同样的操作方式来证明无理数集的长度也是0啊！如果有理数集的长度和无理数集的长度都是0，那么实数集的长度也应该是0啊！

答案是否定的！无理数集不能采用以上操作！

因为有理数集可以写成有序集合{q1，q2，q3，…}，但无理数集无法做到这一点。

原因在于有理数集是可数的，而无理数集是不可数的。

前面已经提到所有有理数都可以表示成分子分母互质的整分数，那么我们就可以将区间[0，1]上的所有有理数依次有序的排列出来：

0，1，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5，…

区间[0，1]上的任何一个有理数都可以在这个有序列中找到一个确定的位置。

所以，有理数集是可数的。

但对于无理数集，你无法找到任何一种有序的排列方式将所有无理数依次排列出来。

所以，无理数集是不可数的。

特别强调：可数集不代表有限集。简单来说，可数集的含义就是可以一个两个三个，这样有序的数出来。有限集必然为可数集，而无限集有可能是可数集也有可能是不可数集。

最简单的例子就是正整数集N*，N*是一个无限集，但N*显然是可数的。

总结一下：

在闭区间[0，1]上取有限点集的概率必然为0，取无限可数集的概率也为0。

也就是说，在闭区间[0，1]取到有理数的概率为0，而取到无理数的概率为100%=1。

最后，再给大家提供一种全新的思路。上述问题可以转化为取一个0≤x≤1的小数x。

x=0.a1a2a3……

小数点后每一位都从0—9随机取值，这样一直无限的操作下去。

如果取到0.5000……，就等价于取到有限小数，也就是1/2；

如果取到0.3333……，就等价于取到无限循环小数，也就是1/3；

这两类情况等价于取到有理数。

如果取到无限不循环小数，就等价于取到无理数。

你试想一下，这样无限取下去，有没有可能取到从小数点后某一位开始一直是0或者从某一位开始一直是循环的小数？

我认为，这种可能性仅存在于理论上，我们几乎可以确定取到的小数是毫无规律的。这也再次印证了取到有理数的概率是0，而取到无理数的概率是1。

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