中国科学技术大学2021年研究生入学考试数学分析试题解答

USTC202101 求函数极限

解

USTC202102 求积分

解 注意到

USTC202103 若

具有二阶连续偏导数,求

解 计算可知

USTC202104 设,求

.

解 计算可知

USTC202105 已知

由

的弧长.

解 计算可知

USTC202106 计算曲面积分

是由

所围成的立体外侧.

解 分别投影并计算得到

USTC202107 证明函数项级数

上一致收敛,在

上也一致收敛.

证明 当

,时,注意到

由Weierstrass判别法知此时函数项级数在

上一致收敛,进一步由于

且

关于

单调递减且关于

一致有界,下证明在

上一致收敛,由于

一致收敛于0,且由积化和差得到得到

由Dirichlet判别法命题得证.

USTC202108 试求

的Fourier级数展开式,其中

不是整数,并由此证明:

(1) .

(2)

.

证明 注意到,进一步计算得到

故

得到进一步由Parseval等式知得到令

,得到,化简得

.

USTC202109 若

在

上连续,证明:存在

,使得

.

证明 设

,则

,由Rolle定理知,存在

,使得

USTC202110 求实系数二次多项式

,使得对任意的

,成立

证明 设

,注意到

于是有

USTC202111 若

在

上连续,且满足

.

证明 考虑

中得到

USTC202112 若

在

上有界连续,且

证明:

在

上一致连续.

证明 若不然,则存在

,使得对任意的

,都有

,而

,不妨取

,有趋于无穷的数列

与趋于0的数列

,使得

,不妨考虑

对任意

成立,由于

有界,于是

也有界,此时有由题意得

在

上有界矛盾,命题得证.