中国科学技术大学2022年研究生入学考试数学分析试题解答

USTC202201 选择题(正确选项可能不唯一,请写出选项号).

(1)积分

的值等于__

__.

A.

B.

C.

D.积分不存在

解 注意到被积函数是奇函数,而奇函数在对称区间上的积分为

.

(2)设函数

可微且导数有界,则__

__.

A.

有界 B.

单调增 C.

一致连续 D.

单调减

解 对于A,B而言取反例

,对于D而言取反例

.

(3)已知

,则

等于__

__.

A.

B.

C.

D.

解 计算可知

(4)设连续函数

满足

,其中

,则积分

等于__

__.

A.

B.

C.

D.

}

解 令

,则

,注意到

(5)函数

的定义域是__

__.

A.

} B.

C.

D. 以上都不是

解 计算可知收敛半径为

,分别代入

和

验算即可.

(6)由下列哪个条件能判断数列

收敛?__

__

A.对任意的正整数

,有

.

B.存在

,对任意的的正整数

,有

.

C.存在

和

,对任意的正整数

,有

.

D.对

的任意两个子列

和

,都有

.

解 对于A,有反例

(7)对有界数列

,下面哪个说法可作为

的定义?__

__

A.对任意的

,有无限多个正整数

,使得

,同时存在至多有限个正整数

使得

.

B.

C.

D. 在

的右侧只有

的有限多项且存在

的一个子列单调增加趋于

.

解 对于A和D而言,有反例

(8)函数

在

上有定义,在

上连续,下面哪个条件能断定函数

在

上有最大值?__

__

A.

和

均存在且有限.

B.

.

C.

,且存在

使得

.

D.

,且存在

,使得

.}

解 对于A而言,有反例

USTC202202 计算积分

,其中

.

解 计算可知

USTC202203 计算

与

所围的锥体体积,其中

.

解 由柱坐标代换可知,记所围区域为

,则

USTC202204 计算积分

为球面

的外侧,

.

解 记

所围区域为

,由球坐标代换和Gauss公式计算可知

USTC202205 设

,证明:

.

证明 计算可知

USTC202206 函数

在区域

上是否一致连续?证明你的结论.

证明 断言不一致连续,取

则,但

USTC202207 设

是一个连续函数,证明:方程

在

中有且仅有一个根.

证明 令

,则

,即

在

上递增,又

,故

在

中有且仅有一个根.

STC202208 设

连续可导,

,且

时,有

证明:

存在,且

证明 由题意可知

,故

在

上单调递增,进一步有

USTC202209 设函数

在

上有二阶导数,当

时,有

,当

时,有

,证明:

在

处不可微.

证明 若不然,则

在

处可微,由Darboux定理可知

,且

是

的极小值点,但当

时,有

在

上单调递增矛盾,故

在

处不可微.

USTC202210 设

,证明:存在数列

使得

且

对

一致成立.

证明 由和差化积公式可知

故要找到一个数列

,满足

且即可.

注记 本题涉及数论中的Kronecker定理,即设

是无理数,给定实数

,则必存在正整数

和整数

,使得

.数列

的构造较为复杂,限于笔者水平,在此不再赘述,欢迎读者补充.