浙江大学2019年研究生入学考试高等代数试题解答

ZJU201901 设

阶矩阵

满足

,求

.

解 依次将第

行加到第

行上,其中

.得到

ZJU201902 设

为

阶实矩阵, 且

.

证明 设

.若

,且

,而

,于是

.设

,再由维数公式得到

.故

ZJU201903 设

是

阶矩阵,且

为

的特征值,则

(2)若

则

是可逆矩阵.

证明 (1)由第四版复旦高代教材定理6.4.1(Gerschgorin圆盘第一定理) 可得.

(2)由第四版复旦高代白皮书例3.83可得,或由(1)得

的任意特征值非零.

ZJU201904 设

为互不相同的整数,且

不是某个整数的平方,证明: 在有理数域

上不可约.

证明 反证如下.设

,其中

,而

.由于

是整系数多项式,于是

或

,此时

必有至少

个根

,于是

,于是

,而

不是某个整数的平方,矛盾,故

在有理数域

上不可约.

ZJU201905 设

为

阶方阵,证明:

.

证明 由第四版复旦高代白皮书例7.84可得.

ZJU201906 设

是

维酉空间,

是

上的自伴算子(对称变换),且

,证明:

是可逆变换.

证明 取

的一组标准正交基,使得

在这组基下的表示矩阵是Hermite阵

.由于

的特征值

都是实数,由于

,由二次函数知识可知

,于是

是可逆矩阵,即

是可逆变换.

ZJU201907 设

是负定实对称阵,证明:

的绝对值小于等于

的主对角元绝对值的乘积.

证明 记

是正定实对称阵,由第四版复旦高代白皮书例8.55可得.

ZJU201908 对于

维实线性空间

上的线性变换

,有

,证明:

至多有两个不同的特征值.

证明 由题意可知

,于是

.若

有至少三个不同的特征值,则至少有两个非零特征值,此时

,于是

个数中有

个不同的值,由抽屉原理可知这是不可能的,故

至多有两个不同的特征值.

ZJU201909 设

阶矩阵

特征值全为

,证明:对任意的正整数

,

与

相似.

证明 由第四版复旦高代白皮书例7.7可得.

ZJU201910 证明:

是正规矩阵的充分必要条件是

是

的特征值.

证明 由第四版复旦高代白皮书例9.97可得.