《算术与几何的妙趣》用相同的矩形拼接矩形

我们来仔细思考一下这三个条件。条件 (1) 显然是必须的。条件 (2) 也是必须的，因为若要拼接方式成立，沿着大矩形长度为 n 的边，应该有 a 与 b 之和的形式来表示 n，例如 2a+5b。对 m 亦然。条件 (3) 也是必须的，但必要性没那么一目了然，否则，该结论早在 1969 年以前就应该得到证明了！我们注意到，若满足条件 (3)，有可能 n 既是 a 的倍数又是 b 的倍数，那么 m 则可以既不是 a 的倍数也不是 b 的倍数。我们稍后再回到条件 (3)。

这里有几个应用实例，来说明德布鲁因和克拉那尔所得结论的意义。涂色论证方法证明用 1×4 矩形无法拼接 10×14 矩形，即之前所述的不可能性。该结论不足为奇，通过一般定理也能得出；而 n 和 m 都不是 4 的倍数，条件 (3) 不满足。

1×10 矩形能否拼接成 16×25 矩形？这里也是条件 (1) 和 (2) 满足，而条件 (3) 不满足。答案为否定。

7×3 矩形能否拼接成 21×11 ？条件 (1) 和 (3) 满足，而条件 (2) 不满足：11 不能通过（零个、一个或多个）7 与（零个、一个或多个）3 求和得到。答案为否定。

4×10 矩形能否拼接成 22×20 矩形（参见图 h）？条件 (1) 和 (3) 满足，由于 22=10+4+4+4，条件 (2) 也满足。答案为肯定：请读者自己找出拼接方法！（让·保罗·德拉耶）

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