《亚里士多德的三段论》显示法证明

用换位法和用归谬法证明，对于将不完全的三段论化为完全的三段论说来是足够了。但亚里士多德还作出了第三种证明，即所谓用显示法证明（proofs by exposition or ἄκθεσις）。虽然对亚里士多德系统来说，它是无关紧要的，但它们本身是有兴趣的，并且值得仔细研究。

在《前分析篇》中仅有三处地方亚里士多德对这个证明作了一个简短的刻画。第一处是与证明E前提的换位相联系的，第二处是Darapti式的证明，第三处是Bocardo式的证明。ἐκθέσθ北一字仅仅出现在第二处，但无疑另两段也是指的用显示法证明。 [43]

让我们从第一处开始，它这样说：“如果A属于无一B，B也不会属于任何A。因为，如果它应属于某些，如C，则A属于无一B就不是真的；因为C就是B的某些分子。” [44] E前提的换位在这里是用归谬法加以证明的，但这个归谬证明基于I前提的换位，而I前提的换位是由显示法证明的。用显示法证明需要引入一个新词项，叫做“显示词项”（exposed term）；它在此处，就是C。由于这段文字的隐晦，这个C的恰当的意义以及这个证明的逻辑结构只有用揣测来得到了。我将根据现代形式逻辑试着对这问题加以解释。

我们要证明I前提的换位律：“如果B属于有些A，则A属于有些B。”亚里士多德为此目的引入一个新词项C；从他的话中，可知C包含于B之中也包含于A之中，由此我们可得到两个前提：“B属于所有C”及“A属于所有C”。从这些前提，我们能用三段论（用Darapti式）推出结论“A属于有些B”。这是亚历山大提出的第一个解释。 [45] 但这个解释是可以反驳的，它预先假定了Darapti式，而这个式是还没有被证明的。因此，亚历山大宁愿采取另外一个不是基于三段论的解释；他主张词项C是一个由知觉提供的单一词项，而显示证明在于一种知觉的证据。 [46] 无论如何，这个被迈尔承认的解释， [47] 是没有《前分析篇》本文的支持的。亚里士多德并没有说过C是一个个体的词项。况且，一个用知觉作的证明并不是逻辑证明。如果我们要逻辑地证明前提“B属于有些A”可以换位，而证明是借助于第三个词项C来进行的，我们就必须找到一个联结上述前提与含有C的命题的断定命题。

当然，简单地说，如果B属于有些A，则B属于所有C并且A属于所有C，是不真的；但稍微修改一下这个蕴涵式的后件就容易解决我们的问题。我们必须在后件之前加上一个约束变项C的存在量词，“有一个”。因为，如果B属于有些A，这里总存在一个词项C，使得B属于所有C并且A属于所有C。C可以是A和B的共同部分，或包括在这共同部分中的一个词项。例如：如果有些希腊人是哲学家，这里就存在着词项“希腊人”与“哲学家”的共同部分，即“希腊哲学家”，并且显然，所有希腊哲学家都是希腊人，而所有希腊哲学家也都是哲学家。因此，我们可以陈述下列断定命题：

（1）如果B属于有些A，则有一个C使得B属于所有C并且A属于所有C。

这个断定命题是显然的。而且（1）的换位也同样是显然的。如果有A和B的共同部分，B必定属于有些A。因此，我们得到：

（2）如果有一个C使得B属于所有C并且A属于所有C，则B属于有些A。

也许亚里士多德直观地感到这些断定命题的真，虽然他没有能够明显地加以塑述；并且尽管他没有看到所有导致这个结果的演绎的步骤，他却抓住了它们与I前提换位的联系。我将在这里作出I前提换位的完全的形式证明，由断定命题（1）与（2）开始，并对它们运用某些命题逻辑的定律和存在量词的规则。

亚里士多德一定知道下面的命题逻辑的断定命题：

（3）如果p并且q，则q并且p。

这就是合取式的交换律。 [48] 应用这条定律于前提“B属于所有C”以及“A属于所有C”，我们得到：

（4）如果B属于所有C并且A属于所有C，则A属于所有C并且B属于所有C。

我们应用存在量词规则于这条断定命题。有两条这样的规则；两者都与有关的一个真蕴涵式相联系来陈述。第一条规则读作：在一个真蕴涵式的后件之前允许加上一个存在量词，把出现于后件中的自由变项约束起来。由此规则得到：

（5）如果B属于所有C并且A属于所有C，则有一个C使得A属于所有C并且B属于所有C。

第二条规则读作：在一个真蕴涵式的前件之前允许加上一个存在量词，把出现在前件中的自由变项约束起来，只要它不在后件中作为自由变项出现。在（5）中，C已经在后件中约束起来了；因此，根据这条规则，我们可以在前件中约束C，从而得到公式：

（6）如果有一个C使得B属于所有C并且A属于所有C，则有一个C使得A属于所有C并且B属于所有C。

这个公式的前件与断定命题（1）的后件相同；因此，由假言三段论定律得出：

（7）如果B属于有些A，则有一个C使得A属于所有C并且B属于所有C。

从（2）将A与B交换，我们得到断定命题：

（8）如果有一个C使得A属于所有C并且B属于所有C，则A属于有些B。

而从（7）和（8）用假言三段论我们可以推出I前提的换位定律：

（9）如果B属于有些A，则A属于有些B。

从以上所述，可见I前提的可转换性的真正理由在于合取式的可交换性。属于A和B两者的个体词项的知觉可以直观地使我们相信这个前提的可转换性，但对于一个逻辑证明来说是不充分的。没有必要假定C是由知觉提供的单一词项。

用显示法证明Darapti式现在能够易于理解了。亚里士多德用换位法把这个式化为第一格，从而说道：“用归谬法和用显示法来论证这个都是可能的。因为如果Ｐ和R二者都属于所有S，则Ｐ和R二者必属于S的某些分子，例如说N、Ｐ和R都属于它，那么，Ｐ属于有些R。” [49] 亚历山大对这一段的注释值得我们注意。它以一个批判的评论开始。如果N是一个包含于S中的普遍词项，我们就得到前提“Ｐ属于所有N”和“R属于所有N”。但这恰好是相同的前提的组合（σΥζΥγία），犹如“Ｐ属于所有S”和“R属于所有S”一样，而问题仍如前面一样保留着。因此，亚历山大继续说：N不能是一个普遍词项；它是一个由知觉提供的单一词项、一个明显地存在于Ｐ与R之中的词项，而且整个用显示法的证明是一种借助于知觉的证明。 [50] 我们已经在上面碰见这个意见了。为了支持这个说法，亚历山大举出三个论证：第一，如果他的解释被拒绝了，我们就将根本没有证明了；其次，亚里士多德并没有说Ｐ和R属于所有N，而是简单地说属于N；第三，他并没有转换带N的命题。 [51] 这些论证中没有一个是有说服力的：在我们的例子中并没有换位的需要；亚里士多德经常在应当使用全称的记号的地方把它省去了； [52] 至于第一个论证，我们已经知道有了另一个更好的解释。

Darapti式：

（10）如果Ｐ属于所有S并且R属于所有S，则Ｐ属于有些R，

来自断定命题（2）的替代（以Ｐ代B，以R代A）：

（11）如果有一个C使得Ｐ属于所有C并且R属于所有C，则Ｐ属于有些R，

以及断定命题：

（12）如果Ｐ属于所有S并且R属于所有S，则有一个C使得Ｐ属于所有C并且R属于所有C。

断定命题（12）可以由应用存在量词的第二条规则于同一律的公式：

（13）如果Ｐ属于所有C并且R属于所有C，则Ｐ属于所有C并且R属于所有C，

而得到证明，由此得到：

（14）如果Ｐ属于所有C并且R属于所有C，则有一个C使得Ｐ属于所有C并且R属于所有C，

再于（14）中用字母S替代自由变项C，亦即仅在前件中进行替代，因为不允许用任何东西去替换约束变项。

从（12）和（11），借助假言三段论就得出Darapti式。我们又一次地看到显示词C是一个像A或B一样的普遍词项。当然，用N而不用C来指示这个词项是不重要的。

较为重要的似乎是第三处，它包含用显示法对Bocardo式的证明。这一段说：“如果R属于所有S，但Ｐ不属于有些S，那么，Ｐ应不属于有些R就是必然的了。因为，如果Ｐ属于所有R，而R属于所有S，则Ｐ将属于所有S；但我们假定它并不如此。不用归谬法证明也是可能的，如果Ｐ并不属于所有的S的某些分子的话。” [53] 我将用与其它的用显示法证明同样方式来分析这个证明。

令Ｐ不属于S的那个部分为C；我们得到两个命题：“S属于所有C”及“Ｐ属于无一C”。由这些命题中的第一个与前提“R属于所有S”从Barbara式我们得到结论“R属于所有C”，它与第二个命题“Ｐ属于无一C”一起用Felapton式产生所需要的结论“Ｐ不属于有些R”。问题在于我们如何能从原前提“R属于所有S”及“Ｐ不属于有些S”得到这两个带有C的命题。这两个前提中的第一个由于它不包含Ｐ，从而对于我们的目的来说是没有用处的；从第二个前提我们也不能用通常的方法得到我们的命题，因为它们是特称的，而我们的两个命题都是全称的。但是，如果我们引入存在量词，那么我们就能得到它们，因为下面的断定命题是真的：

（15）如果Ｐ不属于有些S则有一C使得S属于所有C并且Ｐ属于无一C。

如果我们实际认识到对C所需要的条件总可由Ｐ并不属于的S的那个部分满足，这个断定命题之为真也就明显了。

由断定命题（15）出发，在Barbara式与Felapton式的基础上，借助于一些命题逻辑的定律和存在量词的第二条规则，我们就能证明Bocardo式。因为这个证明相当长，我在此处只作一简述。

在（15）之外，我们取调换过前提的Barbara式：

（16）如果S属于所有C并且R属于所有S，则R属于所有C，

以及同样的调换过前提的Felapton式：

（17）如果R属于所有C并且Ｐ属于无一C，则Ｐ不属于有些R。

作为前提。对这些前提，我们可以应用命题逻辑的一个复杂的断定命题。奇怪得很，这一点逍遥学派是知道的并且亚历山大还将它归之于亚里士多德本人。它被称为“综合定理”。（Synthetic theorem,σΥνθετικὸν θεώρημα）。它说“如果α并且B蕴涵γ，而γ与δ一起蕴涵ε，则α并且B与δ一起蕴涵ε”。 [54] 令α、B和γ分别为Barbara式的第一前提、第二前提以及结论，δ和ε分别为Felapton式的第二前提与结论；我们得到公式：

（18）如果S属于所有C并且R属于所有S并且Ｐ属于无一C，则Ｐ不属于有些R。

这个公式可按另一条命题逻辑的定律变形如下：

（19）如果S属于所有C并且Ｐ属于无一C，那么如果R属于所有S，则Ｐ不属于有些R。

对这公式可应用第二条存在量词的规则。因为C是在（19）的前件中出现的一个自由变项，但不在后件中出现。根据这条规则，我们可得断定命题：

（20）如果有一个C使得S属于所有C并且Ｐ属于无一C，那么如果R属于所有S，则Ｐ不属于有些R。

从前提（15）和断定命题（20），由假言三段论得出后件：

（21）如果Ｐ不属于有些S那么如果R属于所有S，则Ｐ不属于有些R。

而这就是Bocardo式的蕴涵形式。

当然，亚里士多德看到这个推演的所有步骤是极不可能的；但知道这一点是重要的，即他对于显示法证明的直观是对的。亚历山大对这个Bocardo式的证明的注释是值得引证的。他说：“证明这个式，不必假定某个由知觉提供的、单一的S，而采用Ｐ不属于它的那样一个S，这是可能的。因为Ｐ不属于这个S，而R属于所有这个S，而这两个前提的组合产生结论，Ｐ不属于有些R。” [55] 在这里，亚历山大终于承认了显示词可以是普遍的。

显示法证明对于亚里士多德的三段论理论的系统来说没有什么重要性，所有由显示法证明的定理都能由换位法或归谬法加以证明。但是它们本身却是极重要的，因为它们包含了一个新的逻辑因素，亚里士多德对于它的意义并不是完全明白的。或许这就是亚里士多德为什么在他的《前分析篇》第一卷的总结性的一章中（即第七章，他在此章中总括了他的三段论的系统研究），除掉了这一类的证明。 [56] 在他之后没有人懂得这些证明。它留待现代形式逻辑用存在量词的观念来解释它们。（卢卡西维茨）

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