初中数学几何培优第三十讲：构造圆（四）

知识解读

    在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧.

作辅助圆的常用依据有以下几种：

①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上；

②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；

③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；

④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.

典例示范

例6问题探究

（1）如图1-1-14①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；

（2）如图1-1-14②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长；

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图1-1-14③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

【提示】（1）由于△PAD是等腰三角形，分情况讨论AD是底边还是腰，可以画出图形，再根据矩形的性质、勾股定理等知识即可求出BP的长；（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、解直角三角形等知识即可求出BQ长；（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、解直角三角形等知识，就可算出符合条件的DM长.

例7如图1-1-16，如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，求线段BE的长．

【提示】BE是Rt△ABE的一条直角边，斜边AB=6，若能求出线段AE的长度，则可得BE长.由B，C，E，F四点共圆，可探求△AEFC∽△ABC.