2004年4月浙江省高等教育自学考试复变函数试题

一、填空题（每空2分，共16分）

　　1.设z=x+iy，其中x>0，y<0，则arg z=________________（-π

　　2.指数函数 的基本周期=________________.

　　3. 的主值=________________.

　　4.？=________________.

　　5.级数 的收敛半径R=________________.

　　6.函数ez+ 在z=0的去心邻域0<|z|<∞内罗朗展示为________________.

　　7.函数1+ez的零点为________________.

　　8.若f（z）为整函数，则z=∞为f（z）的可去奇点的充要条件________________.

　　二、判断题（判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“╳”。每小题2分，共14分）

　　1.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散。（　）

　　2.简单曲线必可求长。（　）

　　3.三角函数sin z， cos z皆为有界函数。（　）

　　4.复变函数f（z）在点z可导等价于f（z）在点z可微。（　）

　　5.设f（z）在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C有？=0，则f（z）在D内解析。（　）

　　6.f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是u（x，y）、v（x，y）在区域D内满足柯西－黎曼条件。（　）

　　7.若函数ω=f（z）在区域D内单叶解析，则f（D）是一个区域。（　）

　　三、完成下列各题（每小题5分，共30分）

　　1.设|z|=1，试证 =1.

　　2.求函数f（z）= 在z=0的去心邻域内的罗朗级数。

　　3.求积分 ，其中C表示原点z=0到点z=1+i的直线段。

　　4.z=0是 的本性奇点吗？证明你的结论。

　　5.计算积分 ， 其中n为正整数。

　　6.求一个上半单位圆到上半平面的保形变换。

　　四、（10分）

　　计算积分 ，　其中C：x2+y2=2（x+y）。

　　五、（10分）

　　求积分 之值，其中积分路径是连接0到2πa的摆线：

　　x=a（θ-sinθ），y=a（1-cosθ）。

　　六、（10分）

　　证明：若f（z）在D内解析，且|f（z）|=常数，则f（z）=常数。

　　七、（10分）

　　证明：设方程 =1（自然数n>1）的n个解为1，ω1，ω2，…，ωn-1，则

　　1+ω1+ω2+…+ωn-1=0.