当地交通队定我的车全责,责任由司机负,该司机的家人已代其在责任书上签了字,请问我该对司机负责吗？

我自己的车（长途运货），雇用了一名司机，司机在途中超速行驶与前面的车追尾，司机在事故中受伤导致左腿膝盖以下截肢，出事后我也对他进行了积极的抢救，垫付医辽费2万多元，司机没有疲劳驾驶。当地交通队定我的车全责，责任由司机负，该司机的家人已代其在责任书上签了字。请问我该对司机负责吗？
要有的话该负哪些责任

按照《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第11条，雇员受伤雇主赔偿