母亲只用自己的工龄和单位证明购买了房改房,该房产是他和母亲的共同财产吗,他可以继承吗？

1、九二年底，离异后的母亲与一老头同居，住在父母离异后我们分得的房子中。该老头当时所自报的身份、房产及职业，经事后查询均是假的。他没有任何证件如身份证、户口本、房产证、退休证，证明自己的身份、婚姻家庭、固定收入，及职业。但他一直欺骗母亲会尽快办理，直到母亲去年过世后，才在我们强烈要求下刚刚办理户口，但户口簿上注明已婚，只有其个人情况，且为粮农。而他个人说原配偶去世。他和母亲生活其间，对其个人情况，要么只字不谈，要么出尔反尔，且一直谎称他是外地某局局长，尽管我们儿女不相信，但根本不了解此人出自何处。母亲至死都不知他为何人，一直称其为“黑人”。这种婚姻是有效的事实婚姻吗？是不是婚姻欺骗。听说九四年前同居是事实婚姻，母亲这种情况是吗？
2、母亲去世前，口述要我们将原父母亲离异后的房产变卖。这种遗嘱有效吗？
3、母亲去世后，老头想要以第一继承人身份，继承上述房产，并要将其户口迁入。该房子原为公有住房，九七年母亲参加房改，由于他们没有婚姻登记，且老头根本没有工龄证明，母亲只用自己的工龄和单位证明购买了房改房。该房产是他和母亲的共同财产吗？他可以继承吗？

如果未登记，也未按照当地风俗办理结婚仪式，属同居关系。