：甲的行为是否构成犯罪,如构成犯罪,构成何罪,如不构成犯罪,为什么呢？

各位律师：
师，您好：
被告人甲女与开办工厂的乙男有私情。乙因工厂不景气而心绪不佳。为稳定人心，乙未将不景气的情况公诸于众，被告人甲也不知晓。一日，乙与妻子、甲以及一个朋友吃饭喝酒。劝酒时，被告人甲为乙斟酒，乙妻见状便阻拦说：“他不会喝酒。”乙即说：“别说喝酒，就是剧毒农药我也奉赔到底。”被告人甲便开玩笑地问：“你家有农药吗？在哪？”乙说有。甲便取来剧毒农药，当着大家的面将农药倒入乙的碗里，然后对乙说：“你喝啊？”乙即问妻子道：“我喝啦？”乙妻开玩笑说：“你喝吧！”于是乙便喝了一口。甲根本未料到乙真会喝，当即吓呆了，乙妻见状急忙打掉乙手中的就碗，用说呕乙的喉咙，想让乙把农药吐出来，但未奏效，乙在被送往医院的途中死亡。
请问：甲的行为是否构成犯罪？如构成犯罪，构成何罪？如不构成犯罪，为什么呢？

构成过失致人死亡罪。