2004年4月全国高等教育自学考试复变函数与积分变换试题
第一部分选择题(共30分)
一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.复数方程z=2+ ( 为实参数,0≤ <2 )所表示的曲线为()
A.直线 B.圆周
C.椭圆 D.抛物线
2.已知 ,则argz=()
A. B.
C. D.
3.Re(cosi)= ()
A. B.
C. D.
4.设f(z)=(1-z)e-z,则 =()
A.(1-z)e-z B.(z-1)e-z
C.(2-z)e-z D.(z-2)e-z
5.设ez= ,则Imz为()
A.ln2 B.
C.2k ,k= … D. +2k ,k=0,…
6.设C为正向圆周|z|=1,则 ()
A. B.2
C.0 D.1
7.设C为正向圆周|z-1|=1,则积分 等于()
A.5 B.7
C.10 D.20
8.设C为正向圆周| |=1.则当|z|>1时,f(z)= ()
A.0 B.1
C. D.
9.设f(z)= 的罗朗级数展开式为 ,则它的收敛圆环域为()
A.0<|z|<2或2<|z|<+ B.0<|z-2|<2或2<|z-2|<+
C.0<|z-2|<+ D.0<|z-2|<2
10.幂级数 在点z= 处()
A.发散 B.条件收敛
C.绝对收敛 D.不绝对收敛
11.z=0是 的()
A.解析点 B.本性奇点
C.一阶极点 D.二阶极点
12.设z=x+iy,则w= 将圆周x2+y2=2映射为()
A.通过w=0的直线 B.圆周|w|=
C.圆周|w-2|=2 D.圆周|w|=2
13.Res[ ]=()
A.2i B.-2i
C.-1 D.1
14.z2sin 在z=0点的留数为()
A.-1 B.
C. D.0
15.w=iz将z平面上的第一象限保角映射为()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
第二部分非选择题(共70分)
三、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
16.在复数域内,方程cosz=0的全部解为。
17.设C为自点z1=-i至点z2=0的直线段,则。
18.设z=x+iy,Re(iez)=。
19.若C为正向圆周|z-3|=2,则。
20.f(z)在单连通区域D内解析, 是f(z)的一个原函数,C为D内一条正向闭曲线,则。
三、计算题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
21.求出复数z= 的模和辐角。
22.设z=x+iy,满足Re(z2+3)=4,求x与y的关系式。
23.设u=ax3-3xy2,v=3x2y-y3,z=x+iy.问当a取何值时,v是u的共轭调和函数,并求出以u为实部的解析函数f(z)。
24.求积分I= 的值,其中C为从-2到2的上半圆周。
25.设C为正向圆周|z|=R(R 1),计算积分I= .
26.求幂级数 的收敛半径。
27.将函数f(z)= 在区域2<|z-i|<+ 内展开成为罗朗级数。
28.讨论f(z)= 的孤立奇点。 若为极点,求极点的阶数。
四、综合题(下列3个小题中,29题必做,30、31题中只选做一题。每小题10分,共20分)
29.利用留数计算积分I= .
30.求下列保角映射:
(1)把Z平面上的区域D:|z|<2,|z+1|>1映射成W1平面上的区域D1:0 (2)把W1平面上的区域D1映射成W2平面的区域D2:0 (3)把W2平面上的区域D2映射成W平面的上半平面:Imw>0; (4)综合以上三步求出把Z平面上的区域D映射成W平面的上半平面的保角映射。 31.(1)求sint的拉氏变换[sint]; (2)设F(p)=[y(t)],若函数y(t)可导,而且y(0)=0,求[ ]; (3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题
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