2004年4月浙江省高等教育自学考试常微分方程试题

一、填空题（每空2分，共30分）

　　1.含有自变量、未知函数及它的导数（或微分）的方程，称为________________方程。

　　2.已知y=C1sinx+C2cosx是方程y″+y=0的通解，则满足初始条件y（0）＝2，y′（0）=3的特解为y=________________.

　　3.方程（ ）4+y3+？=x5的阶数为________________.

　　4.方程 =p（x）y+Q（x）为齐线性方程。则Q（x）________________.

　　5.M（x，y），N（x，y）为x、y的连续函数且有连续的一阶偏导数。方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0为恰当方程的充要条件是________________.

　　6. 函数f（x，y）在R：|x-x0|≤a，|y-y0|≤b上连续，且在R上关于y满足利普希茨条件，则方程 =f（x，y）存在解y= （x），定义于区间|x-x0|≤h上，连续且满足初始条件φ（x0）=y0，这里h=min（a， ），M=________________.

　　7.方程 =x+y过点（0，1）的第二次近似解为y2=________________.

　　8.设x1（t），x2（t）是非齐线性方程+a1 +a2x=f（t）的两个线性无关解，则齐线性方程+a1 +a2x=0的一个非零解为________________.

　　9.常系数齐线性方程y″+2y′+y=0的通解为________________.

　　10.微分方程x″=2x′的通解为________________.

　　11.线性非齐方程的初值问题+3x″+2x=f（t）x（1）=2，？x′（1）=3，？x″（1）=4可化为如下线性微分方程组的初值问题。

　　12.A是2×2常数矩阵，有特征值-1，其对应特征向量为 ，则线性方程组X′=AX有一解为________________.

　　13.A是一个n×n常数矩阵，则矩阵指数expA=________________.

　　14.方程组 的零奇点类型是________________.

　　15.对非线性方程？零解的稳定性态，判定为________________.

　　二、计算题（每小题8分，共56分）

　　16.求解方程 .

　　17.求解方程 .

　　18.求解方程x″+x′－2x=8sin2t.

　　19.用幂级数求解方程x″－tx′－x=0， x（0）=0， x′（0）=1.

　　20.已知Φ（t）= 是方程X′= X的基解矩阵，求初值问题X′= X+ ，X（0）= 的解？（t）。

　　21.如果矩阵A＝ ，试求expAt.

　　22.利用V（x，y）=ax2+by2确定方程组，零解的稳定性。

　　三、证明题（每小题7分，共14分）

　　23.给定方程 ，证当x0=1，y0=0时 =|x|.

　　24.设A（t）， f （t）分别是区间a≤t≤b上，连续的n×n矩阵和n维列向量，证明方程组？X′=A（t）x+f （t），存在n+1个线性无关的解。