小波变换是什么

小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，同时克服了窗口大小不随频率变化的缺点。它可以提供随频率变化的“时频”窗口，是信号时频分析和处理的理想工具。

小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，克服了窗口大小不随频率变化的缺点。它可以提供随频率变化的“时频”窗口，是信号时频分析和处理的理想工具。其主要特点是通过变换可以充分突出问题某些方面的特点，可以将时间(在空频率之间)局部化，通过伸缩平移运算逐步细化信号(函数)，最终实现高频的时间细分和低频的频率细分，可以自动适应时频信号分析的要求，从而聚焦信号的任何细节，解决了傅里叶变换的难题，成为傅里叶变换以来的一种新方法

简介

传统的信号理论是基于傅里叶分析的，但傅里叶变换作为一种全局变化，存在一些局限性，如不具备局部分析能力，不能分析非平稳信号等。在实际应用中，人们开始改进傅里叶变换来改善这一局限性，如STFT(短时傅里叶变换)。由于STFT采用的滑动窗函数一旦选定就固定不变，决定了它的时频分辨率是固定的，没有自适应能力，小波分析很好地解决了这个问题。小波分析是数学的一个新分支，是泛函数、傅里叶分析、谐波分析和数值分析的完美结晶，在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理等许多非线性科学领域，被认为是继傅里叶分析之后的又一种有效的时频分析方法。与傅里叶变换相比，小波变换是一种时域和频域的局部变换，因此可以有效地从信号中提取信息。多尺度分析是通过尺度变换和平移对函数或信号进行分析，解决了许多傅里叶变换无法解决的难题。

历史

它最早是由1974年在法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet提出的。反演公式是通过物理直觉和信号处理的实际需要，凭经验建立的，当时数学家并不认可。就像1807年，法国热工程师J.B.J .傅立叶提出了任何函数都可以展开成三角函数无穷级数的创新概念，这一点没有被认识到。幸运的是，早在20世纪70年代，A.Calderon表示定理的发现，Hardy 空之间的原子分解，无条件基的深入研究，为小波变换的诞生做了理论准备，J.O.Stromberg也构造了一个与历史上现在的小波基非常相似的小波基。1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造了一个实小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法& # 8211；经过多尺度分析，小波分析开始蓬勃发展。比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》对小波的普及起到了重要的推动作用。与傅里叶变换和窗口傅里叶变换(Gabor变换)相比，它具有良好的时频局部化特性，能够有效地从信号中提取信息。因此，小波变换被称为“数学显微镜”，是谐波分析发展史上的里程碑。

小波分析

与傅里叶变换相比，小波变换是空(时间)和频率之间的局部变换，因此可以有效地从信号中提取信息。函数或信号的多尺度详细分析可以通过尺度变换和平移来完成，解决了傅里叶变换无法解决的许多难题。小波变换涉及应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等学科。数学家认为，小波分析是数学的一个新分支，是泛函分析、傅里叶分析、样条分析和数值分析的完美结晶；信号与信息处理专家认为，小波分析是一种时间尺度分析和多分辨率分析的新技术。在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气和海浪分析等方面取得了科学应用成果。信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号中包含的重要信息得以揭示。小波分析是一种信号时频分析。在小波分析出现之前，傅里叶变换是信号处理领域中应用最广泛、最好的分析方法。傅里叶变换是一种从时域到频域相互转换的工具。在物理意义上，傅里叶变换的本质是将这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和。正是傅里叶变换的这一重要物理意义，决定了傅里叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。在傅里叶变换中，双向无限延伸的正弦波作为正交基函数，周期函数发展成傅里叶级数，非周期函数发展成傅里叶积分。傅里叶变换用于分析函数的频谱，反映整个信号的时间谱特征，揭示平稳信号的特征。

小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，克服了窗口大小不随频率变化的缺点。它可以提供随频率变化的“时频”窗口，是信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过转化可以充分突出问题的某些方面。因此，小波变换已经成功应用于许多领域，尤其是小波变换的离散数字算法已经广泛应用于许多问题的变换研究中。此后，小波变换越来越受到人们的重视，其应用领域也越来越广泛。