一般微分几何：场与丛

概要：

本文的主要目标是讲清关于“场”的概念，以最简单的标量场为例；平庸的场基于流形间的光滑映射，而更一般的场（丛的截面）则需要先理解什么是纤维丛。

注：本文所说的流形指光滑流形，所有的场也是光滑的场。不过这篇文章探讨的是在定义切空间之前的微分几何，所以以下定义可以很容易的迁移到拓扑流形上。

目录：

光滑映射和平庸的场纤维丛和丛的截面附录

正文：

光滑映射和平庸的场流形间的光滑映射

注：我应该会再补一篇关于流形的基本性质的文章，在此之前可以看看物理人写的简要拓扑，流形入门。

使用坐标卡，我们可以（局部的）把两个流形间的连续映射转化成两个欧几里得空间之间的连续映射，以此我们可以定义映射在某点处光滑性。流形间的光滑映射意味着它在每个点处都光滑。

平庸的场

有了流形间的光滑映射，我们就可以定义最简单的场的概念了，称为平庸的场。

在定义一个场之前，我们得定义它的“类型”，也就是它是个“什么场”。是标量场？切向量场？还是张量场？有个概念专门用于决定这个“类型”，可以称为值空间（或者值流形），即“所有可以取的值的集合”。

值空间得是一个流形，它可以简单到是这样只有两个点（0维流形），也可以是一些拥有其他结构的流形，比如实线性空间（如实数集）和李群。

流形上一个平庸的场就是一个从到值空间的光滑映射

（更准确的说，是这么个函数

不过笛卡尔积这种东西能躲多远躲多远。）

当我们赋予一个旧概念新的名字的时候，要么是我们能从新的视角理解这个概念，要么是我们可以拓展这个概念，至于这里么，“我全要了”。

是什么新视角呢？

场与其说是一个定义在上的函数，不如说是一个变量，一个“在上各点取各个值”的变量（更顺口但并不准确的的说法是，在上的不同点取不同的值）。

让我们在流形上取一个特定的点，那么我们就可以说场在处的值为，它是里的一个元素。所以，一个平庸的场就是，给流形上每一个点赋予一个值，至于这个值是什么“类型”的，由值空间来决定。

为了方便起见，我们要把场当成一个全新的概念，要和光滑映射概念分离开来；为此，这里我们引入一套新的符号，

对于流形上的一个以为值空间的平庸的场，其在处的值，记作，我们有

在“”中，是场的名字，点是流形上的一个点（可以理解成位置），就是在点处的值。

这套新的符号是可以配合括号、下标这类的符号使用的，比如

例子一 我有一个随时间变化的场，那么在时刻的场在点处的值是

例子二 我有一个随时间变化的点（可以理解成一条路径），那么在时刻，场在那个点处的值是

场的记号的写法的好处，一言以蔽之，就是可以把场当成值来处理。场的加减乘除就是值的加减乘除，场的复合就是值的复合，场的函数作用就是值的函数作用……

下面看几个例子，

例子一 （平庸的）常量场

在值空间中取一个元素，那么我们可以流形上定义一个以为值的常量场。

具体例子是，取值空间为，取元素为，那我们有

是一个值恒为的常量场，即在上每个点的上的值都是。

在不会导致误解的情况下啊，有时我们也会用值来表示值恒为的常量场，此时我们有

我应该只有在标量场里加上一个常标量场时才会这么写，不过即使我这么写了，也会做额外的标识。

例子二 标量场

在实微分几何中谈标量，一般指的是实数。

标量场指的是值空间为实数集的场。

考虑两个标量场，我们可以定义它们的“和标量场”

“差标量场”

甚至乘除标量场（除法需要考虑的问题）。

抽象一点讲就是，当我们有一个实数上的运算

放在流形的一个点处，

可以推广到整个流形上，成为了两个标量场之间的运算

即用值空间里的元素之间的运算来定义标量场之间的运算。

我们把上所有的标量场记为，如果你想强调是实值的话，可以记作。（在这里有实际的意义，标量场又被称作-form。我之后肯定会讲1-form，但可能不会继续往下讲了）

例子三 （平庸的）函数场

函数场指的是值空间为函数空间的场。

比如取，实数集到实数集的光滑映射的集合（这是个无限维度的向量空间，严格来说是不符合定义的，具体见附录），取上一个为值空间的平庸的场,

就是一个函数场；

取一个标量场，点处的值是一个实数，我们可以用来定义一个新的标量场，

所以是个上的标量场了；

这个意义下我们似乎可以把理解成一个“函数”

也就是说我们把一点上的函数拓展到了整个流形上，即用值空间里的元素的“函数作用”来定义场的“函数作用”。

类似的对于两函数场，我们也可以定义函数场的合成

纤维丛和丛的截面

现在想要拓展到更一般的场，我们需要引入纤维丛的概念（简称为丛）。

简单来说，流形上关于一个值空间（在这里被称为纤维）的一个纤维丛是，把上每个点都换成一份的复制品，记作，再按照都结构重新拼起来，这样得到的一个新的流形。有趣的事情是，这种拼法一般是不唯一的，即使非常简单。

想要给纤维丛一个严格一点的定义的话，

笛卡尔积：“逃得掉吗！”

我：“抓不住我...呜。”

笛卡尔积是一个非常常见而且重要的概念，关于集合意义下的笛卡尔积我就跳过了，我们来点更形象的，

一条竖线笛卡尔积一条横线等于一个方块。

可以试着想象一下

一个圈 积 一条线段 等于 圆柱侧面

一个圈 积 一个圈 等于 甜甜圈表面

纤维丛更严谨的定义是，一个纤维丛由一个流形和一个选定的光滑映射共同决定（按照惯例，，，都可以称作纤维丛）；

考虑的一个子集，我们定义，特别的，（这是纤维丛名字的由来，见附录）；

纤维丛需要满足，从局部上看（点附近），我们能找到一个点的邻域【注】，可以被表示成和的笛卡尔积，即，这个性质叫做局部平庸。

【注】：邻域是拓扑里比较基本的概念，如果没有学过的话可以替换成开邻域，即包含了点的一个开集。

特别的，我们定义平庸的丛为全局平庸的丛，即。

现在，我们定义丛的一个截面，为一个光滑映射，满足

用新符号来表示就是

平庸的场是什么丛的截面呢？是“平庸的丛”的截面。

注：在向量丛的情况下，我们会定义“丛的'平庸的截面’”，可以引申出另一个意义下的“平庸的场”，它和“'平庸的丛’的截面”完全是两个意思，要注意区别。

从局部来看，所有的场都是平庸的，这句话等价于，上的任何一个丛都是平庸的丛。

场和丛的截面

逻辑上讲，我们可以把任何一个丛上任何一个截面称作场，但数学家不是这么做的。

考虑纤维一条线段，流形一个圈，我们发现正常纸带环和莫比乌斯环都是的丛。这两个丛是不一样的，其中正常纸带环是平庸的丛，而莫比乌斯环不平庸。网络上可以找到很多有关莫比乌斯环的奇妙性质，有兴趣的话可以去了解一下。

因此，即使是对同一个纤维，流形上也可以有多种不同的丛，即单纯指定值的类型不足以确定截面可选的结构，我们仍然需要明确它是哪个丛的截面；因此，数学上称呼一个丛的截面为场，当且仅当这个丛被它的“类型”所决定（“丛的同构”意义下的唯一确定，不过我不打算细谈这个概念）。

当我们在说一个平庸的场的时候，我们默认要求对应的丛是平庸的丛，因此是唯一确定的；未来在我们定义“切向量场”（“向量场”其实是个有问题的称呼）的时候，它的类型“切向量”决定了对应的丛为“切向量丛”（简称“切丛”）；对于张量场也是一样，类型“型张量”也能确定一个唯一的丛；旋量的事情我不清楚，等我学了再补上吧。

按照这种原则，“实数场”是一种不合适的称呼，应该改成“平庸的实数场”或者“实标量场”；至于物理里的各种场对应的丛是什么，名称合不合适，我就不凑热闹了，读者若是该兴趣，可以自己解读试试。

附录更新日志缩减了流形的基本概念。关于坐标的内容，参照文章《坐标与方向》。调整了语言组织。添加了“截面”的概念，严格化了“场”的概念的适用范围。为什么叫纤维丛，为什么叫纤维？

简单来说，在集合论（或者拓扑学）里，函数（或者连续函数），对于中一点，被称为在点的纤维。

关于不同类型的丛

来一个段子，

从线性代数的角度来说，张量空间本身构成一个向量空间，所以所有的张量都是向量；

从另一个角度来说，向量场就是一个(1,0)型张量场，所以所有的向量都是张量;

所以向量就是张量，向量场就是张量场（确信）。

众所周知，向量场不等于张量场。那么问题出在哪里呢？在微分几何的语境下，点处的一个张量，是一个基于的点处切向量空间的张量，所以(1,0)型张量场指的是切向量场，而不是广义的向量；所以上面的段子应该改成，

从线性代数的角度来说，张量空间本身构成一个向量空间，所以所有的张量都是向量；

从另一个角度来说，切向量场就是一个(1,0)型张量场，所以所有的切向量场都是张量场;

所以切向量都是张量，张量都是向量，但反过来不成立。

有限维函数空间

考虑，它是一个无限维度的实向量空间，所以不能说是个流形（当然，推广流形的定义是可以让它成为流形的）。

最简单的解决办法就是把定义域改成有限的离散空间，比如，这样就是一个二维的函数空间了。

除此之外，另一个很方便（之后我们会继续使用）的方法就是要求函数线性，甚至可逆（），这样这个函数空间就成了一个一维的流形。

作者的话

这篇文章是我发布的第一篇文章（的重写版本），我自认为是做了比较大的改动的，但主要是在遣词造句方面。毕竟我当时完全就是本着随便写写（我的公众号简介）的态度动笔的，现在看来用词确实比较浮夸。话说，在有限的公众号创作中学到了一件事，大公众号转发所带来的粉丝增长可比埋头写文章来的快多了……

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