思维数学 | 二阶等差数列求和

当两个公差相同的两个等差数列对应项相乘得到二阶等差数列求和，可以分组进行左邻右舍裂差法。得到的结果是（尾×后延-前伸×首）÷（3×公差）。这里除数是公差的3倍，同时注意每项的左邻右舍不一定是“紧挨着的”，它与原数的差等于题目的公差。

例1：计算1×2+2×3+3×4+4×5+......+99×100

等差数列一：1,2,3,4,5，....99

等差数列二：2,3,4,5,6，.....100

使用左邻右舍裂差法：

因为

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷3

2×3=（2×3×4-1×2×3）÷3

3×4=（3×4×5-2×3×4）÷3

........

99×100=（99×100×101-98×99×100）÷3

所以

原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+........+99×100×101-98×99×100）÷3

=99×100×101÷3

=333300

例2：计算1×3+2×4+3×5+4×6+......+44×46

等差数列一：1,2,3,4,5，....44

等差数列二：3,4,5,6,7，.....46

使用左邻右舍裂差法：

因为

1×3=（1×3×5-（-1）×1×3）÷（3×2）

2×4=（2×4×6-0×2×4）÷（3×2）

3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（3×2）

........

44×46=（44×46×48-42×44×46）÷（3×2）

所以

原式=（1×3+3×5+...43×45）+（2×4+4×6+...44×46）

=（43×45×47-（-1）×1×3）÷（3×2）+（44×46×48-0×2×4）÷（3×2）

=31350

备注：

裂差公式：n×（n+1）={n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）}÷3