复旦大学2023年研究生入学考试数学分析试题解答

FDU202301 (1)在

平面上给定点

,动点

在直线

上,则当

时,

取到最大.

解 设

,有

又差角的正切公式得到

下求函数

的最值即可,而

,即

时取等号,即

.此时

.

(2)设

,则含参变量积分

解法1(Froullani积分) 取

由Froullani积分计算可知

引理(Froullani积分) 设

,且

,对于正实数

,有

解法2(交换积分次序) 计算可知

(3)设

是单位球面

被锥

所截部分曲面,定向取求外侧为正向,则对于

曲面积分

.

解 记

FDU202302 确定常数

,使得极限

解 计算可知

,此时极限为

.

FDU202303 设

在

上连续,在

上有二阶连续导数,

,

,证明:对任意的

,有

.

证明 我们来说明

在

上的最小值

.由Fermat引理可知

,考虑

,故此时

.

FDU202304 设

上非负连续函数

可导,且具有连续导函数,若存在

,使

收敛.

证明 (证法有待商榷)由题意可知存在

,对任意的

,有

再由L.Hospital法则可知故由比值判别法可知反常积分

收敛.

FDU202305 设是

上的二阶连续可微函数,满足

为常数.证明:存在

上的线性函数

,使得是全微分.

证明 注意到

即只要

满足题意.