​环形带电体

在环形带电体的轴线上，电场强度沿着轴线的方向。

在线电荷激发电场的问题中，我们讨论了在直线电荷的中垂面上的电场强度，在这些位置，电荷到场点的距离和从电荷指向场点的单位矢量等物理量都可以表示成坐标原点与场点的距离的简单函数，使得积分比较容易计算。除了直线电荷的中垂面，在均匀带电圆环的轴线上的空间点也是一个在目前的知识层面可以讨论的问题。假设有一个半径为

的环形带电体均匀带电。为了求出在这个带电圆环的轴线上的电场强度，沿圆环的轴线建立朝向任意方向的

轴。将带电圆环分割成无数段无穷短的小段，根据线电荷激发电场的计算公式，可以写出电场强度的形式表达式：

积分中的符号

表示沿环形带电体积分一周。在上述公式中，各个物理量取如下形式：

在这些关系式中，需要特别说明的是

这个单位矢量，它并不是指朝向某个特定方向的单位矢量，而是在轴线的垂面上各个方向的单位矢量的共用符号。在积分的过程中，

的方向会随着积分变量

而改变。

有了这些关系式，就可以写出电场强度的具体计算公式：

由于带电圆环上的电荷均匀分布，因此，从上面的示意图不难看出，对积分变量的每一个

值，必定存在一个与之对应的值

，圆环上这两处的电荷激发的电场强度数值相等，方向关于轴线对称，与

有关的分量相互抵消。因此，当对整个圆环求积分时，与

有关的电场分量全部相消，只留下与

有关的分量相叠加；另一方面，从上述积分表达式也不难明白，在积分的过程中，

是一个常数，单位矢量中的

积分一周等于零，而

分量则可以提到积分号外。于是，圆环轴线上的电场强度：

其中

是圆环的总带电量。在远离带电圆环的空间中，

，电场强度近似地表示为：

这正是一个带电量

的点电荷激发的电场。这个结果让我们理解了现实中点电荷这个概念的物理涵义。其实，这个情况在直线电荷的问题中已经遇到过，只是在当时并未明确地指出。在远离带电细杆的位置，均匀带电细杆中垂面上的电场近似地等于一个带电量

的点电荷激发的电场。

在分立的电荷系统问题中，我们讨论了两个等量异号点电荷和四个等量异号点电荷激发的电场，而在连续分布的带电体问题中，我们又讨论了直线电荷和带电圆环激发的电场。对这几个问题的讨论有一个共同点，只讨论了具有某种对称性的空间位置上的电场。之所以这样做，有两个原因。首先，电场是一个矢量，求多个电荷或者连续带电体激发的电场，是一个矢量叠加的问题。矢量描写法虽然能够使写出来的公式简洁明了，但是，在真正实施具体计算的时候，还必须按照分量进行计算，这导致计算量很大；其次，在一般的空间点上，源点与场点的距离以及从源点指向场点的单位矢量等物理量的表达式比较复杂，具体的计算实施起来相当困难。上述两个原因导致在求电场时求和或者积分的运算难以实施。只有在那些具有某种对称性的空间区域，由于对称性的原因，电场的某些分量会在求和中相互抵消，使计算量极大地减少。而恰好在这些区域，距离和单位矢量等物理量的表达式又因对称性而显得比较简单，从而使求和或者积分的运算极大地简化。

正如前面多次提到，在不久的将来，我们会发展出一些简便的方法，能够比较容易地推导出一般空间区域中的电场。