行列式的本质是解决什么问题现实本质是什么？

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国内，非数学专业的《线性代数》教材，一上来就直接给出行列式的表达式，然后直接讲应用。这使得很多初学者根本就不理解行列式，更别提本质问题了。要回答题主的问题，首先要搞清楚 行列式的推导过程，然后才是本质，最后才是现实意义和应用。

行列式的推导

设 K 是数域，可以是实数域 R 或 复数域 C，V 是 K 上的线性空间，对于 V 上的 n 元函数 f: V × ... × V → K（n 个 V），若 f 满足多线性，即（α_j, β_j ∈ V, j = 1, 2, ..., n, k ∈ K ），

则称 f 为 线性函数，若，函数 f 还满足反对称性，即，任意互换两个参数函数值取负（i ≠ j; i,j = 1, 2, ..., n），

则称 f 为 反对称线性函数。

K 上的 n 阶矩阵 的全体 记为 M_n(K)。考虑，M_n(K) 上的函数 det : M_n(K) → K，对于 任意 A ∈ M_n(K) ，

由于 A 可看作 n 维度向量空间 K^n 中的 n 个列向量 α_1, α_2, ..., α_n ∈ K^n 组成的列向量组：

所以 函数 det 也可以看作 K^n 上的 n 元函数 det: K^n × ... × K^n → K（n 个 K^n)。规定 det 是 反对称线性函数，因为 det 是以 矩阵的列向量为参数的，所以暂时称 det 是 矩阵的列线性函数。

反对称函数有性质：若，反对线性函数 f 的任意两个参数相同，则，f 的值必然为 0，因为：

注：从这条性质也可以反推出反对称性，另外，只需要保证 满足“条件：相邻两个参数相同函数值为零”就可推出上面任意的情况，因此 该条件 也可以作为反对称性的定义。

如果 方阵 A 不满秩，即，r (A) n，则说明： 必有 列向量 α_j 被他向量向量线性表示，即，

于是 根据 det 的多线性和上面的反对称函数性质有：

方阵 A 右乘 初等矩阵 E(i,j) 相当于交换 A 的 i, j 两列，即（不妨设 i j），

于是，根据 det 的反对称性有：

方阵 A 右乘 初等矩阵 E(i(k)) 相当于在 A 的 第 i 列乘以常数 k，即，

于是，根据 det 的多线性有：

方阵 A 右乘 初等矩阵 E(i, j(k)) 相当于把 A 的 第 i 列乘以常数 k 加到 第 j 列，即（不妨设 i j），

于是，根据 det 的多线性和上面的反对称函数性质有：

综上的可以得出对于初等矩阵 P 有：

考虑 det(Aᵀ) 和 det(A) 的关系：

当 r(A) n 时，由于转置不改变 A 的秩，于是有 r(Aᵀ) = r(A) 0，进而 det(Aᵀ) = 0 = det(A)；下面重点分析当 A 满秩，即， r(A) = n 时的情况。

因为方阵左右（左）乘初等矩阵相当于对方阵做对应的初等列（行）变换，再根据高斯消元法的经验，以及初等变换的可逆性，可得出任何矩阵 A 均可化为 初等矩阵的相乘的形式，即：

其中 D 是矩阵标准形。由于初等变换不改变矩阵的秩，于是 r(A) = r(D)，当 A 满秩时，D 也满秩，而 E 是唯一满秩的 方阵的标准形，于是这时有：

即，

于是：

因为 E(i,j)ᵀ = E(i,j)，E(i(k))ᵀ = E(i(k))，E(i,j(k))ᵀ = E(j, i(k)) 所以有：

于是：

进而：

综上，可得：

这说明 矩阵的列线性函数 det 也是 该矩阵的行线性函数，于是在添加规定：

后 改称 det 为 行列式函数。

行列式函数 det 是唯一的，因为：

令 det' 是另外一个 行列式函数，在方阵 A 不满秩时，有 det'(A) = 0 = det(A)；在方阵 A 不满秩时满秩时，有 A = EP_1...P_m，于是和上面的推导同理有：

而 在新添加规定下 det(E) = det'(E) = 1，于是 det'(A) = det(A)。

综上就证明了：对于任意 方阵 A 在任何情况下，det'(A) = det(A)，即，det 唯一。

利用新添加规定，显然有：

于是：

考虑 det(AB)。当 A 和 B 不都满秩时，r(AB) = min{r(A), r(B)} n ，于是：

当 A B 全满秩时，则有：

于是：

进而：

综上就证明了：行列式函数保持方阵乘法运算，即，

注：其实从 det(AB) = det(A)det(B) 也可以反推 det(E) = 1，不过要添加条件 det 非恒零。（可考虑作为 行列式函数 定义中最后添加的规定，感觉更高大上一些）

设 n 阶单位矩阵 E 的行向量组表示为：

则有：

其中 (j_1, ..., j_n) 是 1, ..., n 个数字的任意排列，于是 (e_{j_1}, ..., e_{j_n}) 就是 对 E 列向量的任意排列，于是必有：

其中 N(j_1, ...,j_n) 称为 排列 (j_1, ..., j_n) 的 反序数，于是：

最终得到：

上面等式右边就是行列式函数 det 的解析表达式，称为 行列式，记为 |A|。

行列式的本质

从行列式的推导过程，知道 行列式 是 向量空间 K^n 上的一个特殊的 n 元线性函数 det: K^n × ... × K^n → K（n 个 K^n） 而我们知道，K^n 上的 n 元线性函数 就是 K^n 上的 n 阶协变张量。

单位矩阵 E 的 列向量组 e_1, e_2, ..., e_n 为 K^n 的 标准正交基，其在对偶空间 (K^n)* 下的对偶基 设为：e^1, e^2, ..., e^n，有：

令 α = (a_1, a_2, ..., a_2)ᵀ ，则：

于是 有：

其中：

即，行列式的本质是：

行列式的几何意义

行列式的几何意义为：n 维空间中，以 n 个 行（列）向量 张成 的 平行矩体的 有方向的体积。

一维情况下，平行矩体，就是直线段，行列式就是直线段的 有方向长度：

二维情况下，平行矩体 就是 平行四边形，行列式就是平行四边形的 有方向面积：

三维情况下，平行矩体 就是 平行六面体，就是 平行六面体的有方向体积，令，

有：

高维度类似，低一级维度的体积，就是高一级维度的底面积。（大家有兴趣可以自己推导）。

矩阵不满秩行列式为 0，就意味着，平行矩体 塌缩在 底面上，高度为 0，当然体积也就是 0 了。

行列式的应用

解线方程组 克莱姆法则：对于 非齐次线性方程组，

令：

当 系数矩阵 A 的行列式 |A|≠ 0 时， 则该线性方程有唯一的解：

齐次线性方程组 有非零解的 充要条件是 |A| = 0。

求方阵的逆阵：令，

称 A* 是方阵 A 的伴随矩阵。

方阵 A 可逆的充要条件是 |A| ≠ 0，当 n \ge 2 时，有：

判断矩阵的秩：对于矩阵 A_{m× n}，令，

称为 A_{m× n} 的 r 阶子式。对于 r(A_{m× n}) = r 的充要条件是 A_{m× n} 存在 r 阶子式 不为 0 而 r + 1 阶子式均为 0。

方阵 A_n 满秩 充要条件是 |A_n| ≠ 0。

范德蒙行列式：

雅克比行列式：

写到最后发现篇幅又超长了，于是关于'行列式本质解决什么问题' 只能 泛泛的罗列一些应用。至于那个是 行列式的本质应用？我倾向于解方程，但不确定。

(由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎题主和各位老师批评指正！)

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