向量在三角形中的几个重要结论—内心（一）

如上图所示，设I是三角形ABC所在平面内的一点，

点I为三角形内心的充要条件是aIA+bIB+cIC=0或PI=aPA+bPB+cPC/a+b+c.(a，b，c是三角形ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，P为平面上任意一点，黑体表示向量)

证明过程如下图所示，第一步建立平面直角坐标系，第二步将A、B、C、I四点的坐标表示出来，第三步将向量IA，IB，IC用a，b，c和角B表示出来，第四步，进行向量坐标运算，运算过程有点繁琐。

知识回顾，三角形内心的性质。如下图所示：

在三角形ABC中，AD、BE、CF分别是三内角的平分线。记AD与BE的交点为I，过Ｉ分别作AB、BC、CA三边的垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ，Ｐ。

根据角平分线的性质，IP=IM，IM=IN，所以IP=IN。

因此，点I在角C的平分线上，即CF通过点I。

即三条内角平分线交于一点，这交点叫做三角形的内心。

内心与各顶点的连线平分各角，内心到三角形三边的距离相等，内心也是三角形内切圆的圆心。

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