华东师范大学2021年研究生入学考试高等代数试题解答

ECNU202101 设

为数域, 

, 

.记

,则线性方程组

有多少个线性无关的解,并说明理由.

解 Case1 当

时,则若

,则此时线性方程组有

个线性无关的解.若

,则此时非齐次线性方程组有

个解.事实上,设

的基础解系为

,此外

是

的一个特解,此时

是

的

个线性无关的解.下证

的任意一个解都可以由

线性表示.设

,得到

,进一步由于

得到

,于是它们线性无关;进一步令

是

的解,于是

,于是

可表示为

的线性组合,故

Case2 当

时,线性方程组

无解.

ECNU202102 设

阶方阵

给出复线性空间

的一组基,并计算其维数.

解 设

计算可得

可得到

,于是取

的一组基为

维数为

.

ECNU202103 设

阶矩阵

中元素

是关于实变量

的可微函数.记

证明:若对任意的

,有

,则

解 设

是

的列分块,有

ECNU202104 设

阶复矩阵

满足

,且

有

个不同的特征值,证明:

可对角化.

证明 由第四版复旦高代白皮书例6.62可得.

ECNU202105 设

是多项式

的三个复根,求

解法1(Vieta定理) 由Vieta定理得到:

解法2(字典排序法) 展开后得到

即

.故

ECNU202106 在

上令

证明:函数

在坐标变换

下

保持不变,其中

是二阶正交矩阵.

证明 不妨设

于是有

代入得到

是正交矩阵,

也是正交矩阵,于是

保持不变,又

由于

故

保持不变.

ECNU202107 设矩阵

证明:一定存在

的特征向量

,其中

.

证明 设

是属于特征向量

的特征值,故

,得到

一定有不同实根,且一定有一个正实根..由于

,取

,令

,注意到消去

,记

,有

.故存在

,使得

,此时有属于

的正特征向量

.

ECNU202108 设

阶复矩阵

与

是幂零矩阵,且有相同的秩和极小多项式,证明:

与

相似.

证明 由题意可知

和

的最大阶数Jordan块相同,不妨设阶数为

,分类讨论如下.

Case1 当

或

时,

和

分别相似于

和

.

Case2 当

时,

和

都相似于

或

或

.

Case3 当

时,

和

都相似于

或

或

.

Case3 当

时,

和

都相似于

或

.

综上,

与

相似.

ECNU202109 设

是

阶实矩阵,

是

阶正定实对称矩阵.

(1)证明存在唯一

阶实矩阵

满足

(2)证明对(1)中的矩阵

,有

当且仅当

.

证明 (1)注意到

与

没有公共特征值,由第四版复旦高代白皮书例6.91可得.

(2)我们只需说明充分性.构造映射

由第四版复旦高代白皮书例6.91可知这是一个线性同构,故即

,于是

.