《亚里士多德的三段论》演绎的等值式

对于我们的判定证明，我们需要演绎的或推论的等值式的概念。我认为由于对待这个概念有着一些误解，因此，它的意义必须谨慎地定义。我将在演绎理论的基础上来做到这一点。

通常说有两个表达式α和B，当其如果α被断定了，就可以从α推导出B，反之，如果B被断定了，就可以从B推导出α，我们就说α与B是彼此演绎地等值的。推论的各种规则总假定为已给定的，但它们很少是充分的。例如，它们在下面的例子中是充分的。从断定的交换律CCpCqrCqCpr，我们能推导出断定命题CqCCpCqrCpr：

（1）CCpCqrCqCpr

（1）p/CpCqr，r/Cpr×C（1）—（2）

（2）CqCCpCqrCpr，

从这个断定命题我们能够再推导出交换律：

（2）q/CqCCpCqrCpr，p/s，r/t×C（2）—（3）

（3）CCsCCqCCpCqrCprtCst

（2）q/CpCqr，p/q，T/Cpr×（4）

（4）CCpCqrCCqCCpCqrCprCqCpr

（3）s/CpCqr，t/CqCpr×C（4）—（1）

（1）CCpCqrCqCpr [2]

但是我们不能用这个简单方法从断定的表达式CNpCpq推导出邓斯·司各脱定律CpCNpq，因为我们只能用代入规则从第一个表达式推出新命题，而所有的CNpCpq的代入都是以CN开头的，没有一个是用Cp开头。要从另外一个表达式推导出那些表达式中的一个来，我们必须要有进一步的支持。一般地说，演绎等值式的关系少有是绝对的，而在大多数场合，它是与一些断定命题的某一个基础相关的。在我们的场合，这个基础就是交换律。从

（5） CNpCpq

开始，我们用交换律得到邓斯·司各脱定律：

（1）p/Np，q/p，r/q×C（5）—（6）

（6） CpCNpq，

并且从（6）开始，我们又用交换律再得到（5）：

（1）q/Np，r/q×C（6）—（5）

（5） CNpCpq.

所以我说CNpCpq与CpCNpq就交换律而言是演绎地等值的，并且我写作：

CNpCpq～CpCNpq 对（1）而言。

记号～表示演绎的等值式的关系。这个关系不同于通常的等值关系（此处用Q表示）。通常的等值关系是用两个彼此互相换位的蕴涵式的合取式来定义的，

Qpq＝KCpqCqp，

而不需要任何基础。如果一个通常的等值关系QαB被断定了，并且α或α的一个替代者也被断定了，那么，我们就能断定B，或B的相应的替代者，并且，反之亦然。所以，一个断定的通常的等值式QαB对于演绎的等值式α～B是一个充分的基础；但是它并非是必要的基础，这恰好就是需要说明之点。

不仅断定的或真的表达式而且假的表达式都可以是演绎地等值的。为了解决对于C—N系统的判定问题，我们必须把一个任意的有意义的表达式α变形为表达式CNαπ，π是一个不在α中出现的命题变项。这可以借助于两条断定命题做到：

S1. CpCNpq

S2. CCNppp.

我说对S1与S2而言，α与CNαπ是演绎地等值的，并且我写作：

I. α～CNαπ 对S1与S2而言。

当α被断定时，一切都容易进行。以NNCpp为例。这是一个容易由0—1方法确证的断定命题。根据公式I我陈述：

NNCpp～CNNNCppq 对S1与S2而言。

从

（7）NNCpp

开始，我们用S1得到：

S1. p/NNCpp×C（7）—（8）

（8）CNNNCppq，

并且从（8）开始，我们用代入和S2得到：

（8）q/NNCpp×（9）

（9）CNNNCppNNCpp

S2. p/NNCpp×C（9）—（7）

（7）NNCpp.

但α是一个任意的表达式；它可以是假的，例如Cpq。在这个场合公式I读作：

Cpq～CNCpqr 对S1与S2而言。

在这里，困难开始了：我们能从S1用代入p/Cpq，q/r，得到断定命题CCpqCNCpqr，但我们不能从这个断定命题引出后件CNCpqr，因为Cpq不是一个断定命题并且不能加以断定。所以CNCpqr不能被分离出来。还有一个更大的困难在另一个方向出现：我们能够从S2用代入p/Cpq得到断定命题CCNCpqCpqCpq，但CNCpqCpq没有被断定，我们也不能从CNCpqr用代入得到CNCpqCpq，因为CNCpqr不是一个断定命题。我们不能说：假定Cpq被断定了，那么，就会得出CNCpqr。断定一个假的表达式是一个错误。而我们不能希望用一个错误来证明任何东西。因此公式I看来不是对所有的表达式而只是对那些被断定的表达式才是正确的。

照我看，只有一个办法来避免这些困难：那就是把排斥引入演绎理论。我们作为公理排斥变项p，并且承认清楚的排斥规则（c）和（d）。在这个基础上就能够容易地表明Cpq必定被排斥。因为我们从公理

（*10）p

以及断定命题

（11）CCCpppp

用排斥规则可得：

（11）×C（*12）—（*10）

（*12）CCppp

（*12）×（*13）p/Cpp，q/p

（*13）Cpq.

现在我们能够证明如果Cpq被排斥，CNCpqr必定也被排斥；以及相反地，如果CNCpqr被排斥，Cpq必定也被排斥。

从

（*13）Cpq

开始，我们用S2及排斥规则得到：

S2. p/Cpq×（14）

（14）CCNCpqCpqCpq

（14）×C（*15）—（*13）

（*15）CNCpqCpq

（*15）×（*16）r/Cpq

（*16）CNCpqr.

在另一方向从（*16）用S1我们容易地得到Cpq：

S1. p/Cpq，q/r×（17）

（17）CCpqCNCpqr

（17）×C（*13）—（*16）

（*13）Cpq.

公式I现在已充分地被证明了。然而，我们必须校正我们前面的演绎等值式的定义，说成：

两个表达式就某些断定命题而言是演绎地互相等值的，当且仅当我们能够用这些断定命题和推论规则来证明：如果那些表达式之一被断定，另一个必定也被断定，或者如果它们中的一个被排斥，其它一个必定也被排斥。

从这个定义可知通常的等值式不是演绎等值式的一个必要的基础。如果QαB是一个断定命题，对于QαB而言，α是演绎地等值于B这是真的；但是如果对于某些断定命题而言α是演绎地等值于B，那么QαB是一个断定命题就并不总是真的了。以刚才考虑的演绎等值式为例：

Cpq～CNCpqr 对S1与S2而言。

其相应的通常的等值式QCpqCNCpqr不是一个断定命题，因为它对于p/1，q/0，r/1来说乃是假的。

很明显，演绎等值的关系是自返的、对称的和传递的。有这种情况，对于某些断定命题而言，α是演绎地等值于两个表达式B并且γ。那就是说：如果α被断定，则B被断定并且γ被断定，并从而它们的合取式“B并且γ ”被断定；而反之，如果B和γ两者，或它们的合取式“B并且γ”被断定了，那么α也被断定。再有，如果α被排斥，则合取式“B并且γ”必定被排斥，而且在这个场合，只要B和γ两者之一应被排斥就足够了，而反之，如果它们中有一个被排斥，α必定也被排斥。（卢卡西维茨）

本站是提供个人知识管理的网络存储空间，所有内容均由用户发布，不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息，谨防诈骗。如发现有害或侵权内容，请点击一键举报。