《算术与几何的妙趣》特性的传递

为了证实以 a×b 矩形拼接 n×m 矩形必须满足条件 (3)，我们将用到下面这一定理，名为“传递定理”：

“若矩形 R 能以一系列矩形瓦块拼接而成，且每一个矩形瓦块都至少有一条边的长度为整数，则矩形 R 本身也至少有一条边的长度为整数。”

每一个用来拼接的小矩形都“至少有一条边的长度为整数”，这条性质由小矩形传递到了拼接而成的大矩形。证明这条性质可一点也不简单（参见“传递定理”）。

从很多方面而言，该结论都别具意义。第一个证明方法采用了双重积分计算。1985 年，休 · 蒙哥马利对已知证明方法的复杂性感到十分惊讶，于是，在一次美国数学家协会的会议上，他恳请同僚们找出更简单的证明。几个月之后，斯坦·瓦根发表了一篇有 14 种证明方法的论文！“传递定理”给出了其中的一种。一定要聚精会神地看，这是一个完全图形化的证明方法……用的也是涂色法。

面对同一个复杂结论的多种证明方法，大家也能趁机思考一下数学家们经常提出的问题：什么是好的证明方法？什么才是特定结论最优美的证明方法？是否可能有一致公认的最佳证明方法？

传递定理的情况尤其丰富多彩。人们就最优证明方法各抒己见。有些证明很短，却需要具备罕为人知的预备知识。有些证明很容易推广，似乎蕴藏着很大的潜力。然而，由于存在各种各样可行的推广方法，把推广作为标准来甄选最佳证明方法，也无法取得一致公认的结论：对最佳证明的见解因人而异。

在众多针对矩形的传递定理推广中，我们引用两个颇为有趣的例子，它们指出了即便在几何学里，数论也有用武之地（稍后介绍的另一个结论也证实了这一点）。第一个很简单，第二个则不然。

“有理数边长”性质的传递：若矩形 R 能以一系列矩形瓦块拼接而成，且每一个矩形瓦块都至少有一条边的长度为有理数（即为 p/q 的形式，p 和 q 均为整数），则矩形 R 也具有这一性质。

“有代数数边长”性质的传递：若矩形 R 能以一系列矩形瓦块拼接而成，且每一个矩形瓦块都至少有一条边的长度为代数数（即整数系数多项式方程的根），则矩形 R 也具有这一性质。

我们回过头来看看用 a×b 矩形拼接 n×m 矩形时遇到的性质 (3) 问题。若拼接方式存在，则必须一方面 n 或 m 是 a 的倍数，另一方面，n 或 m 是 b 的倍数。确实是这样吗？

下面的推理证明了的确是这样。取一个由 a×b 矩形拼接而成的 n×m 矩形。我们对其进行被称为“位似”的操作，将所有尺寸缩小 a 倍，于是就得到由拥有一条整数边的 1×(b/a) 矩形拼接而成的 (n/a)×(m/a) 矩形。根据传递定理，n/a 或 m/a 本身也是整数，于是 n 或 m 为 a 的倍数。同理，n 或 m 为 b 的倍数。这正是我们想要的结论。

2. 著名的分割方法

一个著名的矩形分割问题引发了大量相关研究，即是否可以用大小各不相同的正方形来拼接成一个矩形（或正方形）。

在斯图尔特·安德森的网站上（）可以找到与该主题相关的所有信息：历史、详细结论、最新研究。以下是该问题的三个变体。

(1)以正方形来拼接正方形，并且，对拼接中所用正方形进行任意其他组合都无法得到矩形。例如（图中）“无矩形”的23×23正方形拼接。1999年，伊恩·加比尼在马赛的博士论文答辩就选用这个题目。论文给出了解决此类问题的有效算法，研究结果也揭示了很多新的正方形拼接方法。拼接正方形所用的大小不同的正方形的最小数目是21。杜维斯迪恩在1978年发现该结论，并证明21已经是最小数字，并且用21个正方形拼接的方法是唯一的。

(2)以大小不同的正方形来拼接正方形，却不是在平面上，伊恩·斯图尔特在莫比乌斯带上（正方形两边反向相接）或环面上（上下边以及左右边分别方向不变地相接）进行尝试：按照箭头重叠的方式将边相接。

(3)弗雷德里克·亨勒和詹姆斯·亨勒在2008年证明了一个让人吃惊的结果：用所有边长分别为1, 2, 3, …, n 的正方形，且每个只用一次，可以铺满整个平面。如图是这种拼接方法的（简单）开始。

3. 以相似矩形拼接一个正方形

给定边长为1的正方形，可以很容易看出，对于任意有理数p/q（p 和 q 均为正整数），都能以比例为1×(p/q)的矩形拼接成该正方形。这是由于我们知道如何以 q×p 矩形拼接成边长为 pq 的正方形，因为定理中的三个条件都满足。例如，对3/5比例的拼接方法。

很自然，问题是怎样的实数 t，能使比例为 1×t 的矩形拼接成边长为1的正方形。

t 为有理数时，除了一些十分规则的拼接方法之外，也有可能实现其他拼接方法。例如，是否有如右边那样由三个相似矩形构成的拼接方法？

假设可能，并将三个矩形的宽与长之比记作 t。棕色矩形的宽为 t。黄色矩形边长为 1-t 和 t(1-t )。通过减法，得出橙色矩形边长为 1-t(1-t )和 1-t。如果最后这个矩形有恰当的比例，最终构造将十分完美，即：如果满足 t=(1-t )/[1-t(1-t )]，由此得出 t 3-t 2+2t-1=0。

这是一个三次多项式，拥有唯一实数根0.569840291…。这就是用于拼接正方形所需的矩形的准确比例。

我们得出一个拥有整数系数的多项式，这并非巧合。以大小不同但比例相同的矩形来拼出正方形，无论采取何种拼接方法，结论都会是：边长比例t为某一整数系数多项式方程的解。更令人惊讶的是，逆命题也基本成立。其实，克里斯·佛雷凌、丹·里纳、米克罗斯·拉斯科维奇和乔治·塞凯赖什已经证明了下面这个重要的结论：

“当且仅当t为代数数（即整数系数多项式的根），且其极小多项式（也称最小多项式）的所有根的实部为正数时，1×t矩形的相似矩形可以拼接成正方形。”

“极小多项式的所有根的实部为正数”，这个条件实在令人费解，似乎不能用简单的几何方法阐释清楚。

佛雷凌与里纳在 1994 年，拉斯科维奇与塞凯赖什在 1995 年分别独立证明了一个惊人的结论，指出矩形拼接这个简单问题将不可避免地牵扯出代数数（即整数系数多项式方程的根，例如  是 x 2=2 的根），以及极小多项式（根为代数数 x 的最低次多项式）的概念。下面就是将我们从矩形引领到数论领域的重要结论：

“当且仅当 t 为代数数，且其极小多项式的所有根（某些根可能是复数）的实部为正数时，1×t 矩形的相似矩形可以拼接成正方形（参见“以相似矩形拼接一个正方形”）。”

值得注意的是，该定理有着奇特的推论：比例为  的矩形无法拼接成正方形，而比例为  的矩形则可以。事实上，一方面  的极小多项式是 x 3=2，其两个复数根的实部为负数；另一方面， 的极小多项式是 (x-1)3=2，其复数根的实部为正数。

在有关矩形的简单论断中，萨穆埃尔·马尔特比在 1992 年证明了一条独特并有趣的定理。将一个矩形区域分割成可完全重叠的三部分（即形状和面积完全相等），这可行吗？当然，图 i 中的分割方法 A 对任何矩形都成立（可以推广至将矩形分割成可重叠的 n 个部分，其中 n ≥ 1）。当长宽比为 3/2 时，还有分割方法 B。

马尔特比定理的证明会写满十几张纸，定理证实了在这两种显而易见的方法之外，不存在任何其他“矩形三分法”。如果土地所有人想把自己的矩形田地完全平均地分给三个孩子的话，留给他们的田地也只能是矩形的了！（让·保罗·德拉耶）

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