《算术与几何的妙趣》求助于自由群

以集合 G 为生成集的自由群，是一种在众多数学领域中广泛应用的运算系统，尤其是代数拓扑学——这门学科用代数方法研究如何对节点和面进行分类。举个例子，生成集 G 由三个元素（生成元） x、y 和 z 构成。我们为每一个生成元找到一个对应元素作为其倒数，分别记作 x'、y'、z'，它们构成的集合记作 G'。那么，任意从 G 或者 G' 中选取有限序列，其构成的表达式代表该自由群中的一个元素。不含任何元素的空序列记作 1。很显然，对自由群的任一元素 s 都有 1s = s1 = s。

例如，以 x、y、z 为生成元的自由群中包含有 s = xyxx'y'z'z 和r = zzzzyx'xy'z' 两个元素。这样构成的表达式有时可以化简。唯一的化简方法就是依据自由群的定义，找到一个元素与其倒数紧挨在一起的组合，并将它们删除：xx' = x'x = 1。

删除一对符号后，可能会出现另一对可化简的符号，我们就继续化简。例如，。我们先删除 ，再删除 ，最后删除 。起初看似复杂的自由群元素，其实就只是x。

所有 G 和 G' 中符号构成的序列都代表生成集为 G 的自由群中的一个元素。当元素表达式无法再化简时，我们称其处于“标准形式”。若两个元素的标准形式不同，就认为它们是两个不同的元素。请注意，我们不能交换表达式中符号的位置：在由两个生成元 x 和 y 构成的自由群中，元素 xy 和 yx 不相等。

将绳子在钉子上的缠绕方式和自由群元素联系起来，就有了解答挂画问题的理想工具。为此，我们将墙上的每一颗钉子视作一个生成元。如果有三颗钉子，就将它们记作 x、y 和 z。

每一种绳子缠绕钉子的方式都对应自由群中的一个元素，即符号 x、y、z 和 x'、y'、z' 构成的一个序列。我们沿着绳子的缠绕轨迹，从一端到另一端，每当它在钉子 x 上顺时针绕一圈就记下 x，逆时针绕一圈就记下 x'，对钉子 y 和 z 也一样。

3. 波杰叔叔挂画

我的叔叔举起画，一个没拿稳，画框“哐”地一声掉在了地上，画摔出了框。他想要抓住玻璃，却把它打碎了，还划伤了自己。他跳着脚满房间到处找自己的手帕，却找不到。手帕明明放在他刚才脱下的外套口袋里，可是外套又放在哪儿了呢？

他完全想不起来。全家人到处帮他找工具，现在却要停下来找外套了。他发疯般窜来窜去，每每挡住帮忙人的道路。

“就没人知道我把外套放在哪儿了吗？”他喊道，“我就从来没见过这么多蠢人！……”他气愤地站起来，大家才发现原来他就坐在要找的外套上。

“噢！你们别再找了！”他说，“我找到了。你们都帮不上忙！我只能靠自己！……”大家花了半小时给他包扎，又再给他买了一块玻璃，所有的工具、梯子、椅子、蜡烛都拿到跟前，叔叔要再试一次。全家人，包括保姆和女佣，在他周围围了一圈准备协助。两个人负责扶稳椅子，第三个人扶他爬上去站稳，第四个人给他递钉子。结果，钉子掉了。

“看！”他生气地说，“钉子掉了吧 ！……”

钉子被找了回来，可是就这功夫，锤子又不见了。

“锤子哪儿去了？我把锤子放哪儿了？”他喊道。

我们找回了锤子，可这下叔叔又找不到他在墙上做的标记了，钉子一定要钉在那个位置的啊。我们轮流被请上椅子，站在他旁边，看看是不是可以找到原来的标记。然而，大家指的地方各不相同。叔叔觉得我们都是笨蛋，把我们一个一个赶下椅子。他拿起尺子，重新量一遍，得出应该从房间墙角起留出三十一又八分之三英寸的一半。他心算得不出结果，就彻底发怒了。

大家都试着在心里算，算出的结果完全不一样，我们便开始相互取笑。在一片混乱中，叔叔发觉自己已经不记得刚才量的尺寸是多少了。没人知道要算出什么数的一半，只好重来。叔叔这次拿一根绳子，将身子弯成与垂直方向成四十五度角，同时，又想要够着墙上一个至少超出臂长三拃远的地方。绳子脱手，脚下一滑，叔叔失去平衡，栽在了钢琴上。他头和身子重重砸到二十多个琴键，钢琴奏出的和弦甚是诡异……

终于，波杰叔叔又标记好了合适的位置，左手放钉子上去，右手举起锤子。然后，他第一下就砸了大拇指，大叫一声，将锤子掉在了别人的脚趾上……

好，再来试一次。第二下，钉子穿过了石膏墙壁，锤子也砸进去一半。波杰叔叔随着锤子猛冲的力道，一下撞在墙上，差点儿把鼻子撞扁。

我们得找回尺子和绳子，重新打眼，好不容易快到半夜才把画挂上。确实挂得有点儿歪，可能也不太牢固。不过，周围几米的墙看起来好像被耙子刮过一遍。除了波杰叔叔，大家都筋疲力尽，累得要命。

“完工！”他重重地跳下来，踩到了女佣脚上，然后十分得意地看着他一手造成的混乱，“有人连这点小事也不会自己做，还要麻烦请工人！”

杰罗姆· K. 杰罗姆，《三人同舟》，1889

4. 十个问题（见图）

问题一（三颗中的一颗）：拔掉三颗钉子x₁、x₂或x₃中的一颗时，画掉下。

问题二（三颗中的两颗）：拔掉三颗钉子x₁、x₂或x₃中的一颗时，画不掉。拔掉任意两颗，画掉下。

问题三（1+2）：拔掉钉子x₁时，画掉下。拔掉x₂或x₃时，画不掉。同时拔掉x₂和x₃，画掉下。

问题四（四颗中的一颗）：拔掉四颗钉子x₁、x₂、x₃或x₄中的一颗时，画掉下。

问题五（四颗中的两颗）：拔掉四颗钉子x、y、z或t中的一颗时，画不掉。拔掉任意两颗，画掉下。

问题六（四颗中的三颗）：拔掉四颗钉子x₁、x₂、x₃或x₄中的一颗或两颗时，画不掉。拔掉任意三颗，画掉下。

问题七（2+2中的2+2）：画被两颗蓝色钉子和两颗红色钉子挂着。拔掉两颗蓝色钉子或两颗红色钉子时，画掉下。拔掉一颗蓝色钉子和一颗红色钉子，画不掉。

问题八（2+2中的1+2）：画被两颗蓝色钉子和两颗红色钉子挂着。拔掉一颗蓝色钉子时，画掉下。拔掉两颗红色钉子时，画掉下。只拔掉一颗红色钉子（不拔蓝色）时，画不掉。

问题九（3+3中的1+3）：画被三颗蓝色钉子和三颗红色钉子挂着。拔掉一颗蓝色钉子时，画掉下。拔掉三颗红色钉子时，画掉下。只拔掉一颗或两颗红色钉子（不拔蓝色）时，画不掉。

问题十（3+3中的1+2）：画被三颗蓝色钉子和三颗红色钉子挂着。拔掉一颗蓝色钉子时，画掉下。拔掉两颗红色钉子时，画掉下。只拔掉一颗红色钉子（不拔蓝色）时，画不掉。

在答案中，记号[A, B]代表表达式ABA'B'。

这样，每一种缠绕方法都对应着自由群中的一个元素，反之亦然。对 xx' = x'x = 1 的化简运算则对应着如下操作：绳子顺时针绕钉子 x 一圈，紧接着又逆时针绕一圈，绳子一旦拉紧（无需移动或拔掉钉子），围绕钉子 x 的缠绕就会消失，即 xx' 被化简了。

有了自由群和化简运算，无论绳子以何等复杂的方式缠绕数颗钉子，我们都能知道画框究竟能不能挂在墙上。 我们用一系列符号 x, y, z, …x', y', z'…记下绳子缠绕轨迹的表达式， 然后尽可能地删除 xx', x'x, yy', y'y, zz' 和 z'z，将其化简。如果运算结果什么都没有剩下，画就会掉下来（这就是“波杰挂法”）；如果表达式不能被完全化简，画就会稳稳挂在墙上。此时，表达式化简后留下的字母就代表了最终挂住这幅画的钉子。

现在，我们具备了将 n 颗钉子的一般问题转换为一个代数问题的能力。处理这个问题不用再纠结于乱绳缠绕了。

假设我们有一种三颗钉子的缠绕方法，例如 xy'xyyx'zyz'x'，拔掉一颗钉子，比如 y，怎么知道画会不会掉下来呢？

这很简单：只需将所有的 y 和 y' 从缠绕方式的代数表达式中去掉，再尽量化简剩下的表达式（参见“化简绳子的缠绕方式”）。这样，n 颗钉子问题就彻底符号化了：求一个表达式s（生成元为x₁, x₂, …, x_n 的自由群的一个元素），s 不能自动化简为1（没有拔掉任何钉子前，画不能掉下来），且仅当去掉x₁,x₂, …, x_n 中任意一个时能够化简为1。

于是，两颗钉子的问题迎刃而解，最简短的答案包含四个符号：xyx'y'（或xy'x'y, x'yxy', x'y'xy, yxy'x', y'xyx', yx'y'x, y'x'yx）。（让·保罗·德拉耶）