初中数学几何培优第三十八讲：巧用圆的对称性（四）

知识解读

    古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”圆的美体现在它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且绕圆心旋转任意的角度都能与自身重合。由圆的对称性研究了很多重要的定理：同圆或等圆的半径相等；垂径定理及其推论；同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理等。这些性质在证明或计算时往往通过构造直角三角形，使其三边分别为“弦长的一半，圆的半径，圆心到弦的距离”，常与勾股定理相结合.巧用圆的对称性能妙解许多问题，可使解题方法更灵活，思想更丰富，叙述更简洁，答案更完整。

典例示范

例4如图1-3-9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（辅助线作法见文末）

【提示】（1）在△DOB中运用垂径定理和勾股定理求解；（2）不难发现D，E是中点，联想三角形的中位线定理，DE=½AB，不变；（3）选择OE作为底，作出OE边上的高，设法将△DOE的底和高用x表示出来.

拓展训练

1.如图1-3-10，等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂，点A在x轴的正半轴上，两圆分别与x轴交于C，D两点，y轴与⊙O₂相切于点O₁，点O₁在y轴的负半轴上.

①四边形AO₁BO₂为菱形；

②点D的横坐标是点O₂的横坐标的两倍；

③∠ADB=60°；

④△BCD的外接圆的圆心是线段O₁O₂的中点.

以上结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）

【提示】①根据题意较容易观察出AO₁=AO₂=BO₁=BO₂,所以四边形AO₁BO₂为菱形；②过点O₂作O₂E⊥AD，根据垂径定理得：E为AD中点，所以点D的横坐标是点O₂的横坐标的两倍是错的；③根据题意较容易观察出△BO₁O₂与△AO₁O₂是等边三角形，所以的度数=120°，根据圆周角定理即可求出∠ADB的大小；④根据题意知，O₁O₂是△DCB的中位线，而中位线的中点不是三角形的外接圆的圆心。

例题4图解如下：