初中数学几何培优第三十七讲：巧用圆的对称性（三）

知识解读

    古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”圆的美体现在它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且绕圆心旋转任意的角度都能与自身重合。由圆的对称性研究了很多重要的定理：同圆或等圆的半径相等；垂径定理及其推论；同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理等。这些性质在证明或计算时往往通过构造直角三角形，使其三边分别为“弦长的一半，圆的半径，圆心到弦的距离”，常与勾股定理相结合.巧用圆的对称性能妙解许多问题，可使解题方法更灵活，思想更丰富，叙述更简洁，答案更完整。

典例示范

例3如图1-3-5，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是_________.（辅助线作法见文末）

【提示】抓住两个关键点：①当弦AB与小圆相切时最短；②当弦AB过圆心O时最长。

拓展训练

1.如图1-3-6，在半径为5的圆中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为________  （辅助线作法见文末） 

2.如图1-3-7，半径为5的圆中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于_______

【提示】作AH⊥BC于H，延长CA交⊙A于F，连接BF。（方法不唯一）

3.如图1-3-8，半径为6cm的圆中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE，BF.则图中两个阴影部分的面积和为_________cm.（辅助线作法见文末）

【提示】延长EC交于点G，连接AG.根据条件和圆的轴对称性，要求的阴影部分的面积和等于的面积，只要求出的面积即可。

例题3图解如下：

拓展训练一、图解如下：

拓展训练三、图解如下：