南京大学2023年研究生入学考试高等代数试题解答

NJU202301 求中由四点

构成的三棱锥体积.

解 由题意可知

于是

NJU202302 设是的线性子空间,若中任意非零矩阵都是可逆的,证明: .

证法1 令

可验证是的线性子空间,且

证法2 反证.若,则任取中的个矩阵,考虑线性组合

我们来说明

记矩阵的第一列为,则线性方程组

对任取的中的个元素,都存在这样的

与题意矛盾,故.

NJU202303 设,且的特征值为,求矩阵

的特征值.

解 由第四版复旦高代白皮书例2.76可知

故原分块矩阵的特征值为

NJU202304 设,求一个正定矩阵,使得.

解 由第四版复旦高代白皮书例8.51可知取

NJU202305 设,证明:存在矩阵使得

为阶可逆矩阵,且.

证明 由第四版复旦高代白皮书例3.101可知的行向量张成的线性空间是的解空间的正交补空间,故

为阶可逆矩阵.

NJU202306 求元实二次型

解 记该二次型相伴的实对称阵为,对作对称初等变换可得

上不可约.证明 反证.若

不是满射.证明 由第四版复旦高代白皮书例6.91可得.

NJU202309 设

的一组基.证法1 设

证法2 设

第四版复旦高代白皮书例3.83可得的一组基.