初中数学几何培优第三十四讲:巧解圆中最值问题(四)
知识解读
以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以填空、选择的最后一题出现.这类试题小而精,集多个知识点于一体,能全方位考查基础知识、基本方法、基本思想以及数学思维.
解决此类问题常用的方法技巧有:
①根据“两点之间线段最短”;
②根据“直线外一点到直线上各点的连线中,垂线段最短”;
③利用轴对称性,求直线上一点到直线同一侧两点的线段之和最短;
④根据“过圆内一点的所有弦中,直径是圆中最长的弦,与直径垂直的弦是最短的弦”;
⑤将立体图形转化为平面图形,求两点之间最短距离;
⑥根据函数的性质求最值.
典例示范
例7 :如图1-2-17,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为________
【提示】依题意,结合图形,一圈金属丝被点分成两个部分,其中的实线与虚线部分相等,于是要求周长最小,则需要将圆柱转化为平面图形(如图1-2-18),利用勾股定理即求.
拓展训练
我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图1-2-19所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是 尺.
【提示】由题意可知葛藤绕圆柱五周到达点B,故先把圆柱平均分成五段,利用展开图求出一段的最短长度,即可求出五段的最短长度.
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