牛眼看课堂482：史宁中：《小学数学教学中的基本概念与运算法则》学习笔记（二十）

问题24：如何理解平移、旋转、轴对称？

平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容中最为生动的部分，是在“图形的运动”这个标题下给出的。既然是运动，就不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。这类运动有一个共同的特点，就是在运动之后保持任意两点间直线距离不变，这样就保证了运动之后物体的形状不变，人们称这类运动为刚体运动。刚体运动是两个图形全等的充分必要条件，因此可以用刚体运动来定义图形的全等。也就是说，可以通过平移、旋转、轴对称来定义图形的全等。

判断一个物体的运动是需要参参照物的：我们在拉上了遮光板的飞机上无法感知飞机的运动。因此，描述上述三种图形运动必须构建参照物，因为这些运动是在平面上进行的，因此参照物必须是二维的。可以如下构建三种图形运动的参照物，进而借助参照物定义三种图形运动：

平移：参照物是一条射线。称图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。

旋转：参照物是一条射线。称图形上的所有点到射线原点距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转。

轴对称：参照物是一条直线。称图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线的距离相等、对应点连线与直线垂直的运动为轴对称。

从本质上说，应当是先有参照物，然后再规定图形的图形的运动。当然也可以先有图形的运动，然后判断这个运动的参照物是什么。后一个问题涉及判断，因此更加困难。

图形的许多几何性质可以通过图形的运动直观得到，这是小学数学“图形与几何”内容的要点。比如，如果一条直线是另一直线通过平移得到的，那么这两条直线平行，甚至可以借此来定义平行线；等腰三角形关于底边上的中位线对称，因此等腰三角形的两个底角相等；一个矩形是正方形的充分必要条件是关于两条对角线对称。在教学过程中，教师要把握一个最基本的原则，就是图形的这三种运动保持两点间的距离不变，直观的说就是保持图形的全等。

在日常生活中，图形的三种运动的表现丰富多彩，许多教科书都给出了生动的例子。但有一个例子是富有哲理的，其应用也是非常深刻的。这就是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的例35。这个例子是信息技术中图形数字化的思维基础。这个想法可以直接运用于电视画面的输送，也可以应用于网络图形输送过程的加密。解密的方法就是知道输送图形与原有图形之间的变换关系。在小学高年级，可以用游戏的方式把这样的教学内容安排在“综合与实践”的课程中，让学生在游戏中感悟图形的运动，学会用符号表示图形的运动。