初中数学几何培优第三十三讲：巧解圆中最值问题（三）

知识解读

    以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以填空、选择的最后一题出现.这类试题小而精，集多个知识点于一体，能全方位考查基础知识、基本方法、基本思想以及数学思维.

解决此类问题常用的方法技巧有：

①根据“两点之间线段最短”；

②根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”；

③利用轴对称性，求直线上一点到直线同一侧两点的线段之和最短；

④根据“过圆内一点的所有弦中，直径是圆中最长的弦，与直径垂直的弦是最短的弦”；

⑤将立体图形转化为平面图形，求两点之间最短距离；

⑥根据函数的性质求最值.

典例示范

例5：如图1-2-11，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=BO=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长的最小值为        .

【提示】连接OP，OQ.

拓展训练

如图1-2-12，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是        .

【提示】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形面积公式进行计算即可求解。

例6：如图1-2-13，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA=x，PB=y，则x-y的最大值是        .

【提示】作⊙O的直径AC，连接PC，即可得到△ABP∽△CPA，从而可以应用含x的代数式表示y，即可应用含x的代数式表示x-y，因此，可应用函数的性质求得其最大值.