资金时间价值（一）| 复利的利就是利滚利的利

大家好，我是一只大居。

最近小猪来咨询：“大居，有两个贷款方案，都是8万块贷3年。A方案每个月还2493.72元，36个月还完。B方案每个月还400元，到期再还本金8万。我好纠结啊！”

我：“你纠结啥？”

小猪：“我算了下，

A方案一共还2493.72 * 36 = 89773.92元，

B方案一共还400 * 36 + 80000 = 94400元。

显然A方案还的少啊，但是你之前好像说过复利、越久越值钱什么的。如果选A是不是有坑？”

小猪是不是算错了？

了解资金时间价值的小伙伴，大概已经看出了问题在哪儿。但大多数人和小猪想法一样，既然A方案还款总数不到9万元，而B方案加起来还款9万多，直接就选A。

可是小猪的思路到底哪里不妥？这里就要明确时间价值的3个关键点：

1、今天的100元不等于明天的100元；

2、今天的钱不能和明天的钱直接相加减；

3、如果要把不同时点的钱相加减，必须把它们折算到同一个时间点。

小猪犯的错误就是把不同时点的钱直接相加。AB方案贷款金额都是8万元，但还款方式和金额不一样，不能直接对比。正确的做法是比较两者的实际利率高低。用excel的irr函数可以计算出A方案实际年利率是7.642%，B方案实际年利率是6%。利率越高，资金成本就越高，承担的利息费用实际更多，小猪应该选择实际利率低的方案——B方案。

各位小伙伴如果不会算或者想看每期折算明细，不妨持续关注本系列，后续文章会专门讨论。今天咱们先把资金时间价值的原理搞懂，磨刀不误砍柴工。

复利终值

定义：一定量的货币，按复利计算的若干期后的本利总和。复利俗称利滚利，计息基数是本金与利息之和。

计算公式：F = P * (1 + i )^n

F表示到期价值，P表示期初本金，i表示利率，n表示期限。

假设现在我手上有100元存入银行，银行按年复利计息。当利率分别为5%和10%时，5年期间终值变化曲线如图。

点A ( 0 , 100 ) 表示在存入时价值为100元，因为第0期就是期初，还没开始计息，本利和就是100元。

点B ( 5 , 127.63 ) 表示在利率5%的复利终值曲线上，第5期期末的本利和为127.63元。即在5%复利条件下，现在的100元就等于5年后的127.63元。

点C ( 5 , 161.05 ) 表示在利率10%的复利终值曲线上，第5期期末的本利和为161.05元。即在10%复利条件下，现在的100元就等于5年后的161.05元。

除了点ABC，曲线上的任意一点都可以用同样的思路来解释。

这图眼熟不？不就是高中数学老师教过的指数函数y = a ^ x (a为常数且以a>0，a≠1)吗？

我们按颜色来对应一下：

y = a^x

F = P * ( 1 + i )^n

自变量x就是期限n，常数a就是P * ( 1 + i ）。期初本金P和利率i是固定值所以a也固定了，因变量y表示第x期的终值。

因此，复利终值的函数曲线，就是解释这100元在不同时点时的价值（即本利和）。据图，显而易见的两个结论便出来了：

1、本金和利率固定，则期限越长，终值越大；

2、本金和期限固定，则利率越高，终值越大。

和上面是同一张图，为方便阅读浏览贴在此处

我们还可以把思维拓展开来，i除了能表示利率，还能代表投资收益率、资金成本率等等。

这个函数还有其他的规律，比如，期限和利率固定，期初本金越大则终值越大。道理太简单了，存一万块和存一百块相比，肯定是一万块价值高，就不再画图解释了。

复利现值

定义：未来某期一定量的货币，按复利计算的现在价值。

公式：P = F / (1+ i )^n

P表示现在价值，F表示未来一定量的货币，i表示利率，n表示期限。

假设我想在5年后从银行取出100元的本利和，当利率为5%的时候，现在应该存入多少钱？当利率为10%的时候，又应该存入多少钱？

想好了吗？我要开始画了。

在解读A、B、C点以前，我们先来搞懂n是个什么东西，不然很难理解每个点横坐标的含义。

1、公式P = F / ( 1 + i )^n，当F和i都确定时，自变量是期限n；

2、期限n代表距离到期日剩余的期数，是一个倒计时的概念；

3、把第2点再读一遍然后看图！

n = 1表示距离到期日还剩4年，n = 4表示距离到期日还剩1年；

4、曲线从左往右下降，因此n越大则现值越小，n越小则现值越大。

就像打游戏，假设我每年提升1个段位（有点笨哈哈哈），目标是5年后打到王者。已知游戏的段位顺序是：青铜-白银-黄金-铂金-钻石-星耀-王者。求：我现在的段位是啥？

想要第5年（n = 0）当上王者，那第4年（n = 1）我得上星耀，第3年（n = 2）要当个钻石，第2年（n = 3）铂金，第1年（n = 4）黄金，第0年（n = 5）也就是现在，此时此刻我不就是个白银嘛！

把n搞懂以后，再次对照图片：

点A ( 0 , 100 ) 表示如果现在想取100元出来，那么现在存100元进去就行，0就是无等待时间。

点B ( 5 , 78.35 ) 表示在利率5%的复利现值曲线上，想在5年后取出100元本利和，那现在就应该存入78.35元。即5年后的100元就等于现在的78.35元。

点C ( 5 , 62.09 ) 表示在利率10%的复利现值曲线上，想在5年后取出100元本利和，那现在就应该存入62.09元。即5年后的100元就等于现在的62.09元。

理解了期限n与现值的关系以后，我们才更容易理解利率i与现值的关系。

为什么利率越大，现值越小？因为利率大，利息就涨得快，我存入较少的钱就可以在n期后达到预定目标。而利率小，我得存入较多的钱才能在n期后达标。

依然是打游戏，我希望在5年后到王者段位，如果现在是青铜（现值低），就要非常努力（利率高）。如果我现在已经是星耀（现值高），每年努力一丢丢（利率低）就可以上王者了！

对比与总结

曲线①代表函数F = 100 * ( 1 + 10% )^n

曲线②代表函数F = 100 * ( 1 + 5% )^n

曲线③代表函数P = 100 / ( 1 + 5% )^n

曲线④代表函数P = 100 / ( 1 + 10% )^n

复利终值曲线往上走，复利现值曲线往下走（注意并不对称）。假设我们把（0，100）点所在的水平虚线作为基准线的话，i越小，函数曲线越接近基准线，无论终值还是现值曲线，5%都在内侧，10%都在外侧。n越小，函数曲线与基准线的偏离程度也越小。

是不是可以把教材所有文字描述都抛开不看了？是不是那些弯弯绕绕的结论谁越大谁越小一下就看明白了？三张图换的，不亏！

很多小伙伴表示货币时间价值理解难，学了不会做，做了还要错，公式也容易记混，就是因为本质没有搞懂。今天这三张图，把复利终值和复利现值的基本原理用高中数学知识学了一遍。后续更新年金终值和年金现值的知识点，依旧会用画图的方式来帮助理解。

以上是本文全部内容，感谢阅读。

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