admin 百科大全 2023-01-05 18:28:57

小学奥数知识7-6-4 计数之递推法.学生版

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．

【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？

【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答

【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：

经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12

兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子．

【答案】

【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？

【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答

【解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝．

【答案】

【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答

【解析】登1级 2级 3级 4级 ...... 10级

1种方法 2种 3种 5种 ...... ？

我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A₀，那么登了1级的位置是在A₁，2级在A₂... A₁₀级就在A₁₀．到A₃的前一步有两个位置；分别是A₂ 和A₁ ．在这里要强调一点，那么A₂ 到A₃ 既然是一步到了，那么A₂ 、A₃之间就是一种选择了；同理A₁ 到A₃ 也是一种选择了．同时我们假设到n级的选择数就是An ．那么从A₀ 到A₃ 就可以分成两类了：第一类：A0 ---- A1 ------ A3 ，那么就可以分成两步．有A1×1种，也就是A1 种；(A1 ------ A3是一种选择)第二类：A0 ---- A2 ------ A3，同样道理有A2 ．类类相加原理：A3 = A1 ＋A2，依次类推An = An-1 + An-2．