初中数学几何培优第二十七讲：构造圆（一）

知识解读

    在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧.

作辅助圆的常用依据有以下几种：

①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上；

②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；

③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；

④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.

典例示范

例1将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转a（0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD.

(1)连接BD.

①如图1-1-1①，若a=80°，则∠BDC的度数为__________；

②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变？若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由；

(2)如图1-1-1②，以AB为斜边作Rt△ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE.若∠CED=90°，求a的值.

【提示】(1)①∠BDC=∠ADC-∠ADB，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC为30°；

②由题意知，AB=AC=AD，则点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC仍然为30°；

(2)过点A作AM⊥CD于点M，连接EM，证明“点A，C，D在以M为圆心，MC为半径的圆上”.

例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD中，点E是BC边上的任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.求证：AE=EF；

(2)若把(1)中的条件“点E是BC边上的任意一点”，改为“点E是BC边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE=EF是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【提示】连接AC，AF，显然∠ACF=∠AEF=90°，所以A，E，C，F四点在以AF为直径的圆上.

(1)如图1-1-4①，当点E在BC边上，则∠AFE=∠ACE=45°，于是△AEF是等腰直角三角形，AE=EF 获证；

(2)如图1-1-4②，当点E在BC边的延长线上，则∠FAE=∠FCE=45°，于是△AEF是等腰直角三角形，AE=EF 获证.;

 【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF=90°”相应改为“∠AEF=60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n边形”，，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.