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文▕ 彭咏天

编辑▕ 杨利波-冀州小匠

目录

一.研究背景及意义

二.马氏田口分析的概述

三.马氏田口方法的意义

四.马氏田口的基础概念

4.1马氏距离

4.2 逆矩阵

4.3 田口方法

4.4 正交表

4.5 信噪比

五．马氏田口方法的基本步骤

5.1 构建一个含有马氏空间的测量表作为参考点

5.2 测量表的有效性验证

5.3 确定有效变量，测量表优化

5.4 用优化后的测量表进行诊断和预测

六．马氏田口方法应用案例

6.1 研究对象

6.2 确定有效变量

6.3 参考组数据收集

6.4 构建马氏距离

6.5 计算参考组样本马氏距离

6.6 收集异常样本并计算异常组样本马氏距离

6.7 确定有效变量，优化测量表

6.8 马氏距离阈值T的确定

6.9 马氏距离阈值T的验证

七．马氏田口方法应用展望

参考文献

一.研究背景及意义

1.1 研究背景

广东某零组件生产厂商，拥有1000余台CNC加工设备，每个月CNC刀具采购量一万余把，每月机台更换CNC刀具约八千把。工程师经过分析发现，有50%左右的刀具使用寿命不足20小时，仅有15%的刀具使用寿命可以达到40小时以上，刀具寿命太短造成CNC机台频繁停机换刀，严重影响生产效率，造成极大的内部质量损失。为了研究影响CNC刀具寿命的因素，本文引入马氏田口分析，并尝试建立寿命预警的阈值，并指导刀具设计。

1.2研究意义

马氏田口方法是研究多元系统的一种新方法，该方法不受变量个数和变量属性的影响，先用正常组数据构建测量表，通过测量表构建马氏空间，计算出多元系统异常组的马氏距离，观察异常组马氏距离的异常程度，进而对多元系统进行诊断和预判。

在制造业加工生产过程中，有很多的加工工序需要检测很多的产品质量特性，对所有的质量特性都进行检验存在较高的成本并且存在一定的困难，这时需要从中找到少数关键的质量特性，这时可以考虑使用马氏田口法识别关键质量特性,在减少特性数目的同时也保证了对异常验出的有效性。

具体的应用图示如下：

结合前述研究背景案例，本文旨在解决CNC刀具寿命预测分析的问题，CNC机台在进行加工生产过程中，刀具设计参数、机台运行参数等对CNC刀具寿命影响很大。在产品加工过程中，工程师不知道刀具的使用寿命是多少，只能等到产品加工异常时停机换刀，无法做到提前干预。虽然CNC厂家会根据历史经验，制定刀具寿命的管控指标，但这个管控指标常常如同虚设，并不能起到指导生产，提前干预的作用。本文通过借鉴马氏田口的研究方法，对影响刀具寿命的多个变量（设计参数&运行参数）进行分析，找到影响CNC刀具寿命的关键参数，建立马氏距离阈值管控。当新刀具上线使用前，输入CNC刀具寿命的关键参数，就会输出新刀具的马氏距离，与阈值进行对比，对机台参数进行调整，进行提前干预；当设计新款刀具，输入CNC刀具寿命的关键参数，就会输出新刀具的马氏距离，与阈值进行对比，优化刀具设计参数，提升刀具使用寿命。

二.马氏田口分析的概述

马氏田口方法是研究多元系统的一种新方法，主要用于建立和优化多元系统的测量表，以便采用优化后的测量表进行诊断/预测。马氏距离（Mahalanobis Distance）是由马哈拉诺比斯（P. C. Mahalanobis）提出的，表示数据的协方差距离。马氏距离(Mahalanobis Distance)是一种距离的度量，可以看作是欧氏距离的一种修正，修正了欧式距离中各个维度尺度不一致且相关的问题。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的，即独立于测量尺度。

田口方法是一种低成本、高效益的质量工程方法，它强调产品质量的提高不是通过检验，而是通过设计。田口方法是日本田口玄一博士创立的，其核心内容被日本视为“国宝”。日本和欧美等发达国家和地区，尽管拥有先进的设备和优质原材料，仍然严把质量关，应用田口方法创造出了许多世界知名品牌。

田口方法的目的在于，使所设计的产品质量稳定、波动性小，使生产过程对各种噪音因素不敏感。在产品设计过程中，利用质量、成本、效益的函数关系，在低成本的条件下开发出高质量的产品。田口方法认为，产品开发的效益可用企业内部效益和社会损失来衡量．企业内部效益体现在功能相同条件下的低成本，社会效益则以产品进入消费领域后给人们带来的影响作为衡量指标。假如，由于一个产品功能波动偏离了理想目标，给社会带来了损失，我们就认为它的稳健性设计不好，而田口式的稳健性设计恰能在降低成本、减少产品波动上发挥作用。

三.马氏田口方法的意义

马氏田口方法是将数学与统计概念和田口方法的基本原则进行了集成。马氏田口方法可以说是一个新生事物，从提出到现在，也就十几年的时间。所以对其研究不是很多，许多方面有待进一步地深入。

马氏田口方法是一种处理多元系统的新方法，为了对多元系统进行诊断，需要为多元系统建立合适的的测量表。多元系统受控于多个变量，这些变量并非单独对多元系统起作用，变量之间可能存在相关性。在马氏田口方法里，需要将变量间的相关性考虑到马氏距离的计算里，即采用马氏距离来测量观测值与正常值的距离，而不是采用常规的欧式距离。马氏田口方法中所说的马氏距离并非马哈拉诺比斯所提出的马氏距离，而是将变量个数加入计算后的马氏距离，这样就可以使系统中变量个数不受限制。实际工作中，并非所有的变量都会对多元系统的诊断起到很大作用，因此基于原始变量确定有效的变量子集就非常重要。工程师可以根据不同的异常程度采用不同的措施。多元系统可以如下表示：

马氏田口方法中马氏空间的定义，可用来诊断如上图所示多元系统。对于多元系统的诊断，首先需要定义变量和正常参考样本，它是进行下一步诊断的基础。例如医疗诊断系统，正常参考样本就是健康人；对于智造过程检测系统，正常参考样本就是合格产品；对于CNC机台刀具寿命维护系统，正常样本就是寿命达标的刀具。变量的定义和正常参考样本的选择主要依赖工程专业人员的丰富经验。选择变量后，确定正常参考样本，就可以得到参考样本的均值、标准差和相关矩阵的数据库，该数据库被称为马氏空间。由于正常参考样本马氏距离的均值约等于1（田口玄一博士已经对这一点进行了证明〉， 所以马氏空间又被称为单位组。

四.马氏田口的基础概念

马氏田口方法通过将数学与统计概念和田口工程方法的基本原则进行集成形成了一个多元测量表，通过该测量表构成的马氏空间诊断多元系统观测值的异常程度。

4.1马氏距离

马氏田口方法中数学与统计概念的应用体现在马氏距离的计算上，马氏距离是用于构建测量表的基础和参考点。计算异常观测值与参考点的马氏距离，就可以确定观测值的异常程度。马氏距离的计算有多种方法，其中常用的包括逆矩阵法、施密特矩阵正交化法和伴随矩阵法，逆矩阵法是马氏田口方法中应用最广泛的方法，本案例就是以逆矩阵法进行展开分析。

4.2 逆矩阵

马氏田口方法最基本的方法就是逆矩阵法，如果研究的多元系统有K个变量，则第j个样本的马氏距离如下所示:

从上面公式可以看出，采用修正后马氏距离不仅可以使马氏空间的定义不受多元系统变量个数的限制，意味着马氏距离的计算不受变量个数的限制，而且使马氏空间内样本马氏距离的均值约等于1。为了方便使用，田口玄一博士建议直接以MD_j代表修正后的马氏距离。

4.3 田口方法

在马氏田口中，修正后的马氏距离测量的是观测值偏离参考样本的程度，与工程质量类似，所以可以用田口工程方法的基本原则进行优化，筛选有效变量，预测并诊断多元系统。马氏田口方法主要应用了田口工程方法中正交表和信噪比。

4.4 正交表

在马氏田口中，选择合适的两水平的正交表，将变量分配到正交表的不同列，正交表的每一行都会生成一个马氏空间。其中，'1'表示该变量参与计算马氏距离，'2'表示该变量不参与计算马氏距离，每一行中水平为'1'的变量参与生成马氏空间。举例说明，假如研究的多元系统有11个变量，X1-X2-X3-X4-X5-X6-X7-X8-X9-X10-X11，根据田口工程方法，选择正交表L₁₂(2¹¹)，生成的正交表如下：

第一行：1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

对应正交表的第1行，每一个变量的水平均为'1'，多以马氏空间由变量X1-X2-X3-X4-X5-X6-X7-X8-X9-X10-X11构成，相关矩阵即协方差矩阵为C_11*11，参考组和异常条件的马氏距离以此相关矩阵为基础进行计算。

第二行：1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-2

对应正交表的第2行，前5个变量的水平为'1'，后6个变量的水平为”2“，所以马氏空间由变量X1-X2-X3-X4-X5构成，相关矩阵即协方差矩阵为C_5*5，参考组和异常条件的马氏距离以此相关矩阵为基础进行计算。

第三行：1-1-2-2-2-1-1-1-2-2-2

对应正交表的第3行，前两个变量的水平为'1'，第6、7、8变量的水平为'1'，其余变量水平为'2'，所以马氏空间由变量X1-X2-X6-X7-X8构成，相关矩阵即协方差矩阵为C_5*5，参考组和异常条件的马氏距离以此相关矩阵为基础进行计算。

第四行-第12行，同理。

4.5 信噪比

信噪比是田口DOE的响应输出，它以信噪比作为评价功能性的指标，用以衡量质量特性参数的稳健程度。马氏田口中，信噪比的主要作用是确定有效变量和对有效变量进行排序。马氏田口方法计算信噪比的方法如下：

五．马氏田口方法的基本步骤

马氏田口方法主要有四个步骤，如下所示：

具体操作步骤如下：

5.1构建一个含有马氏空间的测量表作为参考点

5.1.1 确定变量，定义测量表

一般由工程专业人员确定所需的变量，在医疗诊断中，医生对健康人必须考虑到与疾病有关的所有变量，这些变量未经验证，数量比较多。马氏田口方法的任务就是从数量较多的这些特征里筛选出有效的检验变量。马氏田口采用的是两水平正交表和信噪比进行变量的筛选，在处理变量较多（可以从几十到上百）的时候比较简洁和直观。

5.1.2 参考组的数据收集

通常会由专业人员区分正常和异常，正常样本作为参考组。界定正常和异常主要依靠工程人员的经验和各利益相关人的要求，可能会存在一定模糊地带（如医疗诊断，对健康与不健康的理解会存在差异），在制造工程领域，正常和异常的标准相对是清晰的。

5.1.3 计算马氏空间的特征量

利用收集到的参考组的数据，多元系统对应的是多个变量对输出的影响，每一个变量代表一个维度，一个样本状态由多个变量共同作用，即是一个样本由多个维度作用。这和数学统计中的多维向量的概念是一致的。计算每一个变量（维度）的均值m_i（i=1,2,3,4…..k）、标准差,s_i（i=1,2,3,4….k）和变量间的相关矩阵即协方差矩阵C，这些数据所组成的数据库成为马氏空间。

5.1.4 计算参考组的马氏距离

计算完马氏空间的特征量，利用马氏田口马氏距离的计算方法计算参考组样本的马氏距离。正常情况下，参考组样本的马氏距离的均值约等于1。

5.2测量表的有效性验证

5.2.1 确定异常条件

在制造工程领域，异常条件样本指的是不符合标准的样本。

5.2.2 计算异常条件的马氏距离

根据马氏田口马氏距离的计算方法计算异常条件的马氏距离，验证测量表的有效性。计算异常条件的马氏距离，需要利用参考组响应变量的均值和标准差对异常条件的变量进行标准化，并且计算异常条件的马氏距离需要采用参考组样本的相关矩阵。如果异常条件的马氏距离大于参考组样本的马氏距离，则可以证明参考组样本建立的测量表是有效的。反之，需要重新定义变量。

5.3确定有效变量，测量表优化

多元系统还有多个变量，并不是每一个变量都有助于提高多元系统诊断和预测的精度，有些变量对多元系统的诊断是没有任何影响的，甚至有可能存在干扰。因此，筛选有效变量有利于缩短多元系统诊断的时间，降低变量维度，简化马氏距离的计算，使马氏田口方法的应用更便捷，精度更高。

5.3.1 正交表设计

运用正交表筛选有效变量是马氏田口的一个发明，在马氏田口中，选择合适的两水平正交表，将变量分配到正交表的不同列，正交表的每一行都会生成一个马氏空间。每一行的马氏空间应该是由水平为“1“的变量组成的。

5.3.2 计算信噪比（S/N）

根据马氏田口方法信噪比公式，计算正交表中每一行的信噪比。

5.3.3 选择有效变量

信噪比表示的是，采用正交表该行中水平为“1“的变量时对异常条件的检出效果。信噪比越大，检出效果越好。通过比较变量各水平（水平1和水平2）的信噪比差值，变量X level=1的信噪比之和减去level=2的信噪比之和即为信噪比增益，变量信噪比增益大于0，即为有效变量。

5.3.4 验证优化后的测量表

有效变量确定之后，沿用参考组样本数据（仅含有有效变量）生成的马氏空间，以此为基础计算参考组和异常条件的马氏距离，进而计算信噪比，验证优化后的测量表是否变异的到降低，信噪比得到提高。

5.4用优化后的测量表进行诊断和预测

5.4.1 确定阈值T

马氏田口的另外一个重要的任务就是确定阈值。如何设定一个合理的阈值T，将涉及到统计学理论和专业知识。在传统的多元方法中，阈值T的确定大部分取决于误判和漏判的损失及概率。需要同时考虑“Ⅰ“类错误和”Ⅱ“类错误。在制造工程领域，漏掉一个应该拦截的致命缺陷将会对客户造成严重的后果。由于”Ⅰ“类错误α（将良品判为不良品，造成生产者损失）所造成的损失和”Ⅱ“类错误β（将不良品判为良品，造成客户损失）所造成的损失必须由工程专业人员确定，所以阈值T本质上是由工程专业人员依赖经验和分析确定。实际工作中，阈值判定的简单方法为：确定有效变量后，重新计算所有参考组、异常条件的马氏距离，采用尝试和估计的方法来估测两类错误α和β。先将阈值定为T，距离低于T判为正常，计算参考组中被判为”异常“的样本所占比例，作为范”Ⅰ“类错误的概率α的估计；计算异常条件中被判为”正常“的样本所占比例作为范”Ⅱ“类错误的概率β的估计。如果此时α和β的估计值能满足实际需要，则将T定为阈值。如果不满足，则需要继续尝试。

5.4.2 诊断和预测，并采取相应的措施

采用优化后的测量表，利用多元统计过程控制对多元系统进行诊断和预测，基于观测值的马氏距离采取相应的措施，如果马氏距离特别小，则可适当拉长两次诊断的时间，减少诊断次数，或可预测较长时间以后的系统状况。如果马氏距离特别打，则需要分析那些变量单独或共同作用的结果，并找出想用的解决方案。

六．马氏田口方法应用案例

6.1 研究对象

  此案例研究对象为广东某零组件公司CNC生产车间持续生产的单一产品，该产品为公司重点项目，客户需求量大，关注度高，用在客户新一代终端设备上。此产品结构复杂，加工技术难度高，在进行CNC加工时，CNC机台刀具报废较多，刀具平均使用寿命不足20小时，公司需要大量采购刀具备用，制造成本居高不下。

6.2 确定有效变量

为了详细介绍马氏田口，现针对某公司CNC机台某种刀具寿命数据进行详细分析。经CNC产品工程师初步分析，影响CNC刀具寿命的变量可以归纳为以下11个变量，变量1-变量7为刀具本身设计特征，采购后刀具管理部门会依据图纸将刀具送到实验室进行检测，并上传系统存档；变量8-变量11为CNC机台关键参数，每天生产前会进行点检确认。

6.3 参考组数据收集

  收集数据构建马氏空间(随机抽取寿命大于2500min的合格刀具作为参考组)

6.4 构建马氏空间

将参考组的数据进行标准化，如何进行标准化。

求标准化后参考组的相关性

标准化后协方差矩阵:

协方差矩阵的逆矩阵C^-1

6.5 计算参考组样本马氏距离

根据马氏距离公式：

求得参考组马氏距离为

参考组马氏距离均值为:

6.6 收集异常样本并计算异常组样本马氏距离

  收集寿命不符合要求的刀具，随机抽取35把不符合要求的刀具，确认刀具本身特征及CNC机台生产相关条件：

以参考组各个维度的均值和标准差，对异常组进行标准化

根据公式求异常组马氏距离：

C^-1为参考组标准化后协方差矩阵，Z′_ij 为异常组按参考组各维度均值和标准差进行标准化后的列向量的转置，Z_ij为异常组按参考组各维度均值和标准差进行标准化后的列向量，K为变量个数。

异常组马氏距离均值为:

参考组和异常组马氏距离的对比

6.7 确定有效变量，优化测量表

并非每一个变量都有助于提高诊断精度，有些变量对诊断结果没有任何影响，甚至存在干扰，因此我们有必要选择出有效变量，降低诊断系统的维度以便缩短诊断时间，同时又不影响诊断精度，甚至提高诊断精度。

6.7.1 设计正交表

我们利用正交表和信噪比对有效的测量表进行优化，当前的诊断系统存在11个变量，因此我们选用L₁₂(2¹¹)正交表，正交表如下：

6.7.2 计算信噪比

首先，针对正交表的每一行建立相应的马氏空间：其次，利用降维后的参考数据计算异常条件的马氏距离，利用所计算的异常条件的马氏距离和信噪比公式计算正交表每一行的信噪比（S/N）。'1'代表该变量参与计算信噪比，'2'代表该变量不参与计算信噪比。

从异常组随机抽取15个样本进行正交表的分析，根据变量噪比增加值的正负号选择有效变量，根据正交表缩减维度计算每行信噪比。

正交表的第一行含有11个level=1的变量，X1-----X11，此行对应的协方差矩阵就是C_11*11。

正交表的第二行含有5个level=1的变量，对应的协方差矩阵为C_5*5；其余各行类似，其中需要注意的是，正交表里15个样本计算马氏距离的时候，需要使用正常样本的均值、标准差及协方差矩阵。

异常组抽取的15个样本如下：

根据15个异常样本计算正交表每一行对应的马氏距离

再根据马氏田口信噪比计算公式计算出每一行的信噪比为

6.7.3 确定有效变量

计算不同水平下变量信噪比的增益，增益越大，对信噪比影响越大，对马氏距离影响越大，对CNC刀具寿命影响越大。

根据增益调整顺序后

最后，根据变量信噪比增加值的正负号选择在效变量。通过逆施阵法选择的有效变量为：X8-X5-X11-X1-X2-X6-X9-X10-X4-X3（按信噪比增加值递减的顺序排列）。

6.7.4 建立优化后的测量表

6.7.5 验证优化后的测量表

对优化后的测量表进行验证，检验变异是否降低，诊断精度是否提升。根据优化后的马氏空间计算马氏距离如下：

优化后正常组马氏距离的均值与优化前马氏距离的均值一致，优化后异常组马氏距离的均值大于优化前马氏距离的均值，说明优化后的马氏空间并没有降低多元系统诊断的精度，可以用优化后的马氏空间建立多元系统诊断的阈值，监控CNC刀具使用的寿命。优化后变量表如下：

6.8 马氏距离阈值T的确定

为了确定马氏距离的阈值T，针对该型号刀具使用情况进行抽样1572pcs，抽样数据分为正常组和异常组，计算正常组和异常组的马氏距离。 马氏距离点图分析如下：

为了使阈值T的检验准确性达到90%，进行规划求解，求得CNC刀具寿命阈值T=1.98。这个数据可以这样理解，当某一把刀具和机台组成多元系统的马氏距离低于1.98，有89.69%的可能性刀具使用寿命大于2500min（41.6h）。

6.9 马氏距离阈值T的验证

确认马氏田口阈值T=1.98后，在CNC机台进行阈值T的检验，取样300pcs进行效果确认，先计算每把刀具的马氏田口距离（变量X1-变量X6刀具参数由实验室测试，变量X8-变量X11机台参数是生产现场记录），结果如下：

通过分析发现，用阈值T=1.98进行样本寿命分析，抽样300pcs刀具使用情况进行分析发现，阈值T进行寿命预测的准确率是89.33%，同样会存在一定的“误判”风险（α=0.0433）和“漏判”风险（β=0.0633）。针对以上预测准确率，公司认为是可以接受的，当然为了更方便计算每把刀具的马氏距离，进而进行预判多元系统的运行状况，已经向IT部门提出开发马氏田口分析IT化工具，输入刀具特征和机台参数就可以预测刀具寿命。

七．马氏田口方法应用展望

马氏田口方法自诞生依赖，有不少统计学家和工程应用专家展开了各种各样的应用研究。对于多元系统优化与诊断分析，马氏田口方法实现了特征子集选择与诊断分析的整合，既拥有很多多元分析方法的优点，又克服了其不足之处。本文针对马氏田口方法中逆矩阵方法的应用展开了深入研究，介绍了马氏田口方法应用的具体步骤，以及如何应用阈值对多元系统进行稳健性优化与诊断分析。 在多元系统诊断/预测分析中，传统的马氏距离函数忽略了各指标的相对重要程度，因而需要对传统马氏距离函数进行修正和改进，使其与变量数量相结合，形成马氏距离单元组，准确反映观测样本的异常程度。

马氏田口方法还可以应用在企业应聘人员预判，每个应聘者本身具备的属性就是变量(维度)，根据企业在职人员建立马氏空间，计算出每一个应聘者的马氏距离，如果应聘者的马氏距离低于提前设定好的阈值，就可以通知应聘者进入下一步的面试，如果应聘者的马氏距离大于提前设定好的阈值，说明该应聘者与招聘要求差别较大，综合素质不符合要求，这时就可以婉拒应聘者。同理马氏田口方法还可以应用在制造过程的多元系统分析。关于马氏田口方法的广义矩阵方法和伴随矩阵方法将在以后的文章中介绍。

编者给实战者拆解马氏田口的三个问题，让我们距离实战更近一步：

1.请简述你对马氏田口的理解。

2.回溯过往经验你遇到的哪些问题可以应用马氏田口。

3.对遇到的问题，请制定一个马氏田口分析的行动方案。

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作者：彭咏天

德尔拓商舍堂MBB学员

领益智造持续改进负责人