序

与概率论和解的这个事情，是一个我尝试了十多年都没成功的事情。直到看完这本书，我和它就真的和解了，算是解开一个十多年的心结。

“黑天鹅”不等于“灰犀牛”--《刘嘉概率论通识讲义》

话说这个心结，要追溯到2008年，离现在将近15年了，当我学习了混沌理论后，发现我就无法调和自己对概率理论产生的疑问。

矛盾在于混沌理论描述的是确定性动力系统出现的不可预测，而且我越发的认识到传统的拉普拉斯妖和决定论，似乎并没有被彻底的推翻。混沌理论表明了非线性系统中的确定性是不可预测的，反过来说从数据点集中极难逆推混沌系统，并不能因为这个困难就说这是随机的。

从确定性来看，扔一个硬币，哪面朝上是确定的，不是随机的。进一步的疑问就是，那为什么要说正面的概率呢？当年有一个公司给我出面试题，说游戏中每次开宝箱能获得宝物的几率是一个值，那要获得一个宝物平均要开几次宝箱，记得当年我就拒绝回答这个问题，连式子都没给列。

因为自己对概率论的疑问找不到答案，我就先预设了概率论是有问题的，不断地用怀疑论的方式来探寻问题的答案。这十来年的努力，慢慢让自己解开了疑惑。我发现了其中的关键在于问题的前提和假设条件，当忽略了这些前提和假设的时候，我的思考是对的，但是如果考虑了这些前提，那顺着概率论的方向，就会有一片不可思议的疆野，至少出现了量子力学的各种中流砥柱的公式，它们都是基于概率。

我是个笨小孩，科学和工程的问题一旦卡壳，找不到解决办法的时候，我就不能往下思考和往下工作了。不过当下日常的工作，我并还是克服了这个弱点，毕竟日常的工作不涉及严谨的逻辑和推理，要严谨起来，我也卡壳。

概率论本质

概率论是一门解决随机问题的理论，本质上就是把局部的随机性转变成整体的确定性。这句话太关键，一下子把随机和确定调和了。看到这里，我忽然有点醒悟了。

概率论不是帮你预测下一秒会发生什么，而是为你刻画世界的整体确定性。这句话一下子把不可预测和确定性的关系给说清楚了，于是我明白了我理解的确定性是对的，但是通往确定性的道路我没有理解。我是从混沌系统通向的确定性，其实从概率论也能通往确定性。

某一次的结果，是低层次、随机的事件；而概率论，是高层次、确定性的认知。这是整体的、全局的思考框架，也是概率论的奠基石。我有时候，总会被一些不起眼的事情吸引，那些事情或许很多人一点也不会去考虑，但是在我这里卡壳，他们也都说不上个子丑寅卯。或许这种抓细节的性格，整好是我适合科研的特质，在别人不关注的地方，找到了自己的突破口，事实上也证明了我这方法有用。

随机不等于不确定

在英文里，有几个词感觉是近亲，可又有很大的差异，这分别是随机（random），不可预测（unpredict），不确定（uncertain）以及确定性（certain）。

• 随机==不可预测，数学家的共识是：随机就等于不可预测。
• （随机==不可预测）！=不确定，这个意思就是随机虽然等于不可预测，但是他们都不等于不确定。最大的差别在于时间可能出现的结果是否可知。随机性指的是时间出现的所有可能我们都知道，只是不知道下一次会出现哪一种结果。不确定，指的是我们完全不知道会发生什么结果。
• 确定->（随机==不可预测），在一个确定性的公式里，即便把数字带进去，也是算不出结果的。这就是混沌，这就是为什么大气环流和长期的天气预报都是算不出来的。

因为我知道了确定性可以推导出随机和不可预测，反而就混淆了随机和不确定的概念，认为没有随机。这就是对概率论前提的预设和范围的误解。本质上来说，不确定性包含随机性，随机性只是不确定性的一种类型。这句话，让我嗨了好几天，因为这个概念困扰了我十多年。所以“黑天鹅”是不确定的描述，而“灰犀牛”是随机的表述。两者有天大的鸿沟。

然而，现实中，数学上定义的随机，在逻辑上就是绝对不可预测。但是实际上，基本上大部分我们接触的随机都是伪随机，比如计算机要生成随机数，都不可能是不可预测的，只是用了复杂的系统，让人一下子找不到规律。但确定性的混沌系统，就可以产生随机数，所以混沌系统自带了产生随机序列的光环，特别适合纳入密码学。因为我在这个小小的一亩三分地有些许认识，反而对概率的随机就产生了天大的误解，在我眼里他们没有随机（混沌和量子以外）。

事实虽然如此，但自己毕竟也绕进去了。正是因为天天想着确定的随机序列，才能在一天内完成了原有密码系统的破解，毕竟能让我一天就破解的系统，本身也是不安全的，但这正是我们搞科研努力的方向，只有越来越多的问题被攻克了，才有可能变得更安全。

绝对意义上的真随机只在于量子层面，现实中很难遇到；伪随机只是披着随机的外衣，它本身是有规律的；我们生活中遇到的大部分随机现象，都是效果随机，也就是概率这么学科研究的重点。在这个层面，我与概率再次和解了。

样本空间

**概率是对随机事件发生的可能性的定量描述**。

不是所有的事情都叫随机事件，它必须符合三个条件：

• 设定一个明确的限制条件。比如问人能登上火星的概率是多少？这种问题就没法算，如果说2050年，人类登上火星的概率是多少，这就有计算的办法了。2050年就是一个明确的限制条件。
• 从可能性的角度出发。可能性包括两种情况，一个是事情还没有发生；另一个是事情客观发生了，但我不知道。问明天下雨的概率多少属于前者，问家楼下有石油的概率属于后者。
• 对某个发生结果的陈述。这个条件的意思是陈述必须是一个随机结果，不能是不确定的结果。

不管多么复杂的运算，概率计算背后的思路都是一致的就是：

计算随机事件在样本空间的比率

一件事可能发生的所有的结果，就是样本空间。随机事件的出现和样本空间是子集和全集的关系，他们的比率就是这个随机事件发生的概率。“黑天鹅”事件的无法预测，本质就在于我们不知道它，它压根就不在样本空间里。这个解释，再次让我释然。

读懂问题

当明白了概率的基本定义，接下来要用概率的理论来描述现实的问题，关键就在于读懂题目。大部分时候，没能算对概率或者没能正常的计算，是因为没有正确理解题目的描述，没有准确地把现实问题转换成对的概率问题。数学的很多问题，其实是语文的阅读理解题，但是数学不接受语文的那种发散性理解，必须用严谨的逻辑思维将文字描述转化成数学问题，再用数学的方法求解。

这是古希腊人的思维方式，他们崇尚的通识学习自由七艺（文科三艺和理科四艺），并不是文理割裂的。文科三艺指的是语法、修辞与逻辑，理科四艺指的是算术、几何、天文和音乐。只有知道语法，懂得修辞，才能读懂别人的文章，自己也才能写出像样的东西。接着在文学的基础上加上逻辑，才能进去算术和几何，接着才能明白天文，音乐倒是个相对独立的课程。

民国期间，蔡元培先生结合德国洪堡教育体系，提出了文理分科的概念，也成为了后来新中国文理学科大分家的基础。无疑，这种体制为我们的社会主义建设迅速提供了合格能上岗的人才，但是这种模式也使得文科人的数理逻辑偏弱，同时理科人的人文素养不足。

没有科学的人文是愚昧的，没有人文的科学是危险的。

概率和统计

概率和统计是两个截然不同的学科。

• 概率研究问题的思路是，在对世界已经有了一个全景式的了解后，来判断未来会发生什么，可以说是一个上帝视角。用数学的语言来说，就是已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果。
• 统计是从眼前的一堆数据中去预测世界的全景应该是什么，是人类视角，和概率的思维完全相反。

概率是已知模型和参数，推数据；统计是，一直数据，推模型和参数。这个概念与微积分的定义异曲同工。

泊松分布打破了两者的鸿沟，推开了统计推断的大门。泊松分布描述的是这么一个事情：

如果一个随机事件发生的整体概率符合正态分布，那么在某一个时间内或时间间隔内发生这个事件的概率是多少。这不是整体的发生率，而是求发生次数的概率。

于是加上数学常用的反证法，就出现了统计推断。大概就是假设一个随机事件是要发生的，根据泊松分布，那是可以算得出概率的，接着人为定义一个阈值，通常是5%，这个阈值就叫显著性水平。接着从现实的统计中看这个随机事件的发生概率，如果这个概率小于显著性水平，那么这随机事件的完全对立的另一个事件就是正确，高于这个显著性水平，什么也没发生，这个反证法就说明不了问题了。

举个例子，假设某个人能喝的出一杯奶茶是先加茶还是先加奶，如果盲测中连续6次都说对了，我们大概率是说他真的能品出。换成基于概率反证法的统计推断语言是这样：

1. 能分辨出的事件命名为T，分辨不出靠猜的事件命名为F。T和F是对立的，一次只能出现一个，不可能同时出现。
2. 如果我觉得他是靠猜的，那就基于事件F，看看当前的实际情况的概率，连续6杯都说对了，概率只有1.6%
3. 把这个概率1.6%和显著性水平5%相比较，显然是1.6小于5，那就推翻了假设他是猜的事件，从而证明了他就是喝的出。

不过这是一个有瑕疵的方法，一个是选择的随机事件很有限，二是显著性的阈值的选择也会影响实际的判断，但还是能在一定程度上说明问题。因此严谨的科学论文的结论都会说，某某现象、情况在统计上出现了显著性结果。

结语

和解来的还是有点晚，如果能早点，或许我对科研就更有信心了，说不定就不会放弃硕博连读的机会了。

一切都有成本和代价的，至少如果我孩子再来问这个问题，我就可以给他解释，并推荐他们看这本书了。