好题解析：一次函数背景下，求两线段长度之差绝对值的最大值

这道题目来自往年八年级数学期末试卷，

先来看看题目：

题目难度不大，但具有代表性，是一道动点线段之差绝对值最大问题。

还是先来分析问题，

求的是|PA－PB|的最大值，

发现这两条线段涉及两定点A和B，一动点P，且动点P在直线y=x上运动，

那么随着点P的运动，PA和PB的长度也会随之发生改变，

问题是，当点P运动到何处时，能让|PA－PB|最大。

标准的两定点，一动点，动点在直线上运动，求线段之差的绝对值的最大值，解题的关键是什么呢？

可以看上一篇文章，

两定点，一动点，动点在直线上运动，同侧，共线，最大值

可以看上一篇文章，

也就是要保证两定点在动点所在直线的同侧时，当两定点和这个动点三点共线时，取得最大值，此时动点所在的位置就是最大值点。

分析本题发现，定点A和B并没有在动点所在直线y=x的同侧，

那么该怎么办呢？

肯定是转化，

如何转化呢？

通过轴对称进行转化，

这在将军饮马最值问题模型中经常用，

所以解题的第一个关键点就是，

通过找对称点将A和B转化到y=x的同侧，

那么究竟是找定点A还是定点B的对称点呢？

一般来说，都可以，

但是，我们要遵循好找且好算的原则，

所以对于本题，肯定是找点A关于y=x的对称点要好些？

为什么呢？

首先，点A在x轴上，具有特殊性，

其次，我们发现y=x这条直线在一三象限的角平分线，

所以，我们能很容易找到点A关于y=x 的对称点，

就在y轴的正半轴上，设对称点为A′，则A′坐标为（0,1，

根据对称性我们可知，PA′=PA，

所以，|PA－PB|=|PA′－PB|，

因此问题就转化为求|PA′－PB|的最大值，

我们发现B，A′满足同侧的要求，

接着就找最小值点，

还记得在什么时候最小吗？
共线时，

因此，连接A′B，并延长，与y=x的交点就是最小值点P，

A′B的长度就是|PA′－PB|的最大值，也就是|PA－PB|的最大值，

到了这一步，问题基本上就解决了，

下来就是计算A′B的长度了，

很简单，构造直角三角形，

怎么构造呢？

过点P向y轴作垂线，

然后利用勾股定理计算即可。

这道题还可以这样来考？

求|PA－PB|最大时，点P的坐标，

如果这样考，你会计算吗？

也很简单，点P是直线A′B和直线y=x的交点，

怎么求交点坐标呢？

先根据待定系数法求出直线A′B的关系式，

然后再与y=x联立，

解方程组即可，自己来求一下。

视频讲解：