期末复习 | 初三数学上册必考压轴题【点与圆的位置关系】专练！

九年级数学上册

期末必考

压轴题点与圆的位置关系

1．点和圆的位置关系    

设⊙O的半径是 r ，点P到圆心O的距离为 d ，则有：

点P在⊙O内d＜r；

点P在⊙O上d＝r；

点P在⊙O外d＞r．

2．圆的确定

（1）平面上，经过一点的圆有 无数 个．

（2）平面上，经过两点的圆有 无数 个．  

（3）不在同一直线上的三个点确定 一个 圆．

3．三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形  三条边垂直平分线 的交点，叫做这个三角形的外心，它到三角形 三个顶点的距离相等 .

4．反证法

假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种证明方法叫做反证法．

【一】如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆⊙O的半径．

解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则O在AD上，

∵AB=AC

∴BD=6

∴AD=√10²-6²=8

设OA=r，连接OB

则Rt△ABC中， OB²=OD²+BD²

即r²=（8-r）²+6²

解得r=25/4

【二】如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．

（1）求证：BD=CD；

解：证明：∵AD为直径，AD⊥BC

∴BD=CD

（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上?并说明理由．

解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上

理由：由（1）知：BD=CD

∴∠BAD=∠CBD

∴∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE

∵∠CBE=∠ABE

∴∠DBE=∠DEB

∴BD=DE

由（1）知：BD=CD

∴DB=DE=DC

∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

【三】某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.

(1)按圆形设计，利用图(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;

解：作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上,图(1).

(2)按平行四边形设计，利用图(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;

解：作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上,图(2).

(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.

解：如图(3)，∵r=OB=4√3/3，

∴S_⊙O=πr²=16π/3≈16.75，

又S_{平行四边形}=2S_△ABC=2×1/2×4×2×√3/2=8√3≈13.86,

∵S_⊙O>S_{平行四边形},

∴选择建圆形花坛面积较大.