矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?)

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),第1张

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?)

矩阵的秩可以直观地理解为筛眼的大小:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第2张


下面就来解释这句话是什么意思?

1 矩阵的作用

假设对于向量 x1 、 x2、 x3、x4 有:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第3张


上述关系可以用图像来表示,左侧的向量 x1 、 x2、 x3、x4,在 A 的作用下,变为了右侧的向量 y1 、y2 、y3 、y4 :

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第4张


将各个向量依次连起来就得到了两个矩形。那么可以这么理解,左侧的矩形在 A 的作用下,变为了右侧的矩形:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第5张


2 矩阵的秩

如果 A 的秩不一样,那么左侧的矩形在 A 的作用下,右侧就可能得到不同的图形:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第6张


有一个很明显的特点,矩阵的秩 rank(A) 越小,得到的图形越小(这里直接给结论了,细节就不展开了):

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第7张


3 矩阵是筛子

因为上面的结论,所以可以将矩阵 A 看作一个筛子:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第8张


那么矩阵的秩 rank(A) 可以看作筛眼的大小,rank(A) 越小对应的筛眼越小(忽略掉筛子的百思特网形状,下面用带网格的圆来表示筛子):

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第9张


筛眼越小,自然漏过去的越小。

4 矩阵复合的秩百思特网

把矩阵的秩看作百思特网筛眼的大小还是有一定解释能力的。比如矩阵的秩有如下的性质,该性质也称为矩阵复合的秩:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第10张


A 、B 可以看作两个筛子:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第11张


可以用带网格两个圆来表示这两个筛子,可以看到各自的筛眼大小不同,也就是各自的矩阵的秩不相同:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第12张


当这两个筛子叠在一起的时候,叠加部分的筛眼变小了,比单独某一个筛子的筛眼要小:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第13张


所以此时有:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第14张


当然还有可能 A 、B 如下:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第15张


这时叠在一起时,叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第16张


所以此时有:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第17张


综合起来就是:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第18张


5 满秩矩阵复合的秩

满秩矩阵 P 可以看作完全没有筛眼的筛子:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第19张


这样两者复合,筛眼大小就完全取决于 A :

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第20张


所以可得到满秩矩阵复合的性质:

矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?),如何直观地理解矩阵的秩?,第21张


DABAN RP主题是一个优秀的主题,极致后台体验,无插件,集成会员系统
白度搜_经验知识百科全书 » 矩阵的秩(如何直观地理解矩阵的秩?)

0条评论

发表评论

提供最优质的资源集合

立即查看 了解详情