2004年4月全国高等教育自学考试线性代数试题

试卷说明： 表示矩阵 的转置矩阵， 表示矩阵 的伴随矩阵， 是单位矩阵，| |表示方阵 的行列式。

　　一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

　　在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

　　1.排列53142的逆序数τ（53142）=（　）

　　A.7 B.6

　　C.5 D.4

　　2.下列等式中正确的是（　）

　　A. B.

　　C. D.

　　3.设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（　）

　　A.k|A| B.|k||A|

　　C. |A| D. |A|

　　4.设n阶方阵A满足 ，则必有（　）

　　A. 不可逆 B. 可逆

　　C. 可逆 D.

　　5.设 ， ， ，则关系式（　）

　　的矩阵表示形式是

　　A. B.

　　C. D.

　　6.若向量组（Ⅰ）： 可由向量组（Ⅱ）： 线性表示，则必有（　）

　　A.秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B.秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）

　　C.r≤s D.r>s

　　7.设 是非齐次线性方程组 的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（　）

　　A. B.

　　C. D.

　　8.设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（　）

　　A. 也是正交矩阵 B. 也是正交矩阵

　　C. 也是正交矩阵 D. 也是正交矩阵

　　9.下列二次型中，秩为2的二次型是（　）

　　A. B.

　　C. D.

　　10.已知矩阵 ，则二次型 （　）

　　A. B.

　　C. D.

　　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

　　请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

　　11.已知A，B为n阶矩阵， =2， =－3，则 =_________________.

　　12.已知 ，E是3阶单位矩阵，则 ＝_________________.

　　13.若 线性无关，而 线性相关，则向量组 的一个线性无关组为_________________.

　　14.若向量组 线性无关，则t应满足条件_________________.

　　15.设 是方程组 的基础解系，则向量组 的秩为_________________.

　　16.设 ， ，则 的内积（ ）＝________________.

　　17.设齐次线性方程组？＝ 的解空间的维数是2，则a＝______________.

　　18.若实二次型 正定，则t的取值范围是_________________.

　　19.实二次型 的正惯性指数p＝_________________.

　　20.设A为n阶方阵， ，若A有特征值λ，则 必有特征值_________________.

　　三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

　　21.计算行列式 .

　　22.设实数 满足条件？＝ ，求 及 .

　　23.求向量组，　，　，的一个线性无关组，并把其余向量用该线性无关组表示。

　　24.给定齐次线性方程组

　　（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？

　　（2）当λ＝1时，求方程组的通解。

　　25.设矩阵 ，求

　　26.设向量 和 都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 .

　　27.设矩阵 ，求正交矩阵P，使 为对角矩阵。

　　28.设二次型 经正交变换 化为标准形 ，求a，b的值。

　　四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

　　29.设A为3阶实对称矩阵，且 .证明： .

　　30.已知矩阵 可逆，证明线性方程组 无解。