2004年7月全国高等教育自学考试线性代数试题

说明：|A|表示方阵A的行列式

　　一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共24分）

　　1.若A是（），则A必为方阵。

　　A. 分块矩阵 B. 可逆矩阵

　　C. 转置矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵

　　2.设n阶方阵A，且｜A｜≠0，则（A*）-1=（）。

　　A.A B.A* C. ｜A-1｜A-1 D.A

　　3.设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则（）必成立。 A. M由四个向量组成

　　B. M由四维向量组成

　　C. M由四个线性无关的四维向量组成

　　D. M由四个线性相关的四维向量组成

　　4.已知β1=3α1-α2，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2为非零向量，则向量组β1，β2，β3的秩（）。

　　A. >3 B. <3

　　C. =3 D. =0

　　5.设向量α1=（3，0，-2）T，α2=（2，-1，-5）T，β=（1，-2，k）T，则k=（）时，β才能由α1，α2线性表示。 A. –2 B. –4

　　C. –6 D. -8

　　6.设n阶方阵A，秩（A）=r

　　A. 必有r个行向量线性无关

　　B. 任意r个行向量线性无关

　　C. 任意r个行向量都构成无关组

　　D. 任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表示

　　7.设非齐次线性方程组Ax=b有解，A为m×n矩阵，则必有（）。

　　A. m=n B. 秩（A）=m C. 秩（A）=n D. 秩（A）

　　8.设方阵A，下列说法正确的是（）。

　　A. 若A有n个不同的特征向量，则A可以对角化

　　B. 若A的特征值不完全相异，则A不能对角化

　　C. 若AT=A，则A可以对角化

　　D. 以上说法都不对

　　9.A为实对称矩阵，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，则（x1，x2）=（）。

　　A. 1 B. –1

　　C. 0 D. 2

　　10.若（），则A∽B.

　　A. ｜A｜=｜B｜ B. 秩（A）=秩（B）

　　C. A与B有相同的特征多项式

　　D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同

　　11.正定二次型f（x1，x2，x3，x4）的矩阵为A，则（）必成立。

　　A. A的所有顺序主子式为非负数 B. A的所有特征值为非负数

　　C. A的所有顺序主子式大于零 D. A的所有特征值互不相同

　　12.设A，B为n阶矩阵，若（），则A与B合同。

　　A. 存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B

　　B. 存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP=B

　　C. 存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ=B

　　D. 存在n阶方阵C、T，且CAT=B 二、填空题（每空2分，共24分）

　　1.行列式 =______.

　　2.设A= ，则AAT=______.

　　3.向量组α1=（1，1，1，1），α2=（0，1，1，1），α3=（0，0，1，1）的一个无关组是______.

　　4.非零n维向量α1，α2线性无关的充要条件是______.

　　5.三维向量空间R3的一个基为（1，2，3），（-4，5，6），（7，-8，9），R3中向量α在该基下的坐标为（-2，0，1），则α=______.

　　6.线性方程组Ax=0解向量的一个无关组为x1，x2，…，xt，则Ax=0的解向量x=_____. 7.设m×n矩阵A，且秩（A）=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=______.

　　8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，则 =______.

　　9.矩阵A= 的所有特征值为________.

　　10.二次型f（x1，x2，x3）的矩阵A有三个特征值1，-1，2，该二次型的标准形为______.

　　11.二次型f（x1，x2，x3）=2x12-x22+x32，该二次型的负惯性指数等于______.

　　12.与矩阵A= 对应的二次型是______.

　　三、计算题（每小题7分，共42分）

　　1.已知 X= ，求矩阵X.

　　2.计算行列式

　　3.t取何值时，向量组α1=（1，2，3），α2=（2，2，2），α3=（3，0，t）线性相关，写出一个线性相关的关系式。

　　4.方程组 是否有非零解若有，求其结构解。

　　5.已知二阶方阵A的特征值为4，-2，其对应的特征向量分别为（1，1）T，（1，-5）T，求矩阵A.

　　6.求一个正交变换，把f（x1，x2）=2x12+2x1x2+2x22化成标准形，并判断f（x1，x2）是否正定。

　　四、证明题（每小题5分，共10分）

　　1.若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A-1也是对称矩阵。

　　2.设n阶矩阵A，且A2=E，试证A的特征值只能是1或-1.