2004年4月全国高等教育自学考试复变函数与积分变换试题

第一部分选择题（共30分）

　　一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

　　在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

　　1.复数方程z=2+ （ 为实参数，0≤ <2 ）所表示的曲线为（）

　　A.直线 B.圆周

　　C.椭圆 D.抛物线

　　2.已知 ，则argz=（）

　　A. B.

　　C. D.

　　3.Re（cosi）= （）

　　A. B.

　　C. D.

　　4.设f（z）=（1-z）e-z，则 =（）

　　A.（1-z）e-z B.（z-1）e-z

　　C.（2-z）e-z D.（z-2）e-z

　　5.设ez= ，则Imz为（）

　　A.ln2 B.

　　C.2k ，k= … D. +2k ，k=0，…

　　6.设C为正向圆周|z|=1，则 （）

　　A. B.2

　　C.0 D.1

　　7.设C为正向圆周|z-1|=1，则积分 等于（）

　　A.5 B.7

　　C.10 D.20

　　8.设C为正向圆周| |=1.则当|z|>1时，f（z）= （）

　　A.0 B.1

　　C. D.

　　9.设f（z）= 的罗朗级数展开式为 ，则它的收敛圆环域为（）

　　A.0<|z|<2或2<|z|<+ B.0<|z-2|<2或2<|z-2|<+

　　C.0<|z-2|<+ D.0<|z-2|<2

　　10.幂级数 在点z= 处（）

　　A.发散 B.条件收敛

　　C.绝对收敛 D.不绝对收敛

　　11.z=0是 的（）

　　A.解析点 B.本性奇点

　　C.一阶极点 D.二阶极点

　　12.设z=x+iy，则w= 将圆周x2+y2=2映射为（）

　　A.通过w=0的直线 B.圆周|w|=

　　C.圆周|w-2|=2 D.圆周|w|=2

　　13.Res[ ]=（）

　　A.2i B.-2i

　　C.-1 D.1

　　14.z2sin 在z=0点的留数为（）

　　A.-1 B.

　　C. D.0

　　15.w=iz将z平面上的第一象限保角映射为（）

　　A.第一象限 B.第二象限

　　C.第三象限 D.第四象限

　　第二部分非选择题（共70分）

　　三、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

　　不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

　　16.在复数域内，方程cosz=0的全部解为。

　　17.设C为自点z1=-i至点z2=0的直线段，则。

　　18.设z=x+iy，Re（iez）=。

　　19.若C为正向圆周|z-3|=2，则。

　　20.f（z）在单连通区域D内解析， 是f（z）的一个原函数，C为D内一条正向闭曲线，则。

　　三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

　　21.求出复数z= 的模和辐角。

　　22.设z=x+iy，满足Re（z2+3）=4，求x与y的关系式。

　　23.设u=ax3-3xy2，v=3x2y-y3，z=x+iy.问当a取何值时，v是u的共轭调和函数，并求出以u为实部的解析函数f（z）。

　　24.求积分I= 的值，其中C为从-2到2的上半圆周。

　　25.设C为正向圆周|z|=R（R 1），计算积分I= .

　　26.求幂级数 的收敛半径。

　　27.将函数f（z）= 在区域2<|z-i|<+ 内展开成为罗朗级数。

　　28.讨论f（z）= 的孤立奇点。 若为极点，求极点的阶数。

　　四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题。每小题10分，共20分）

　　29.利用留数计算积分I= .

　　30.求下列保角映射：

　　（1）把Z平面上的区域D：|z|<2，|z+1|>1映射成W1平面上的区域D1：0

　　（2）把W1平面上的区域D1映射成W2平面的区域D2：0

　　（3）把W2平面上的区域D2映射成W平面的上半平面：Imw>0；

　　（4）综合以上三步求出把Z平面上的区域D映射成W平面的上半平面的保角映射。

　　31.（1）求sint的拉氏变换[sint]；

　　（2）设F（p）=[y（t）]，若函数y（t）可导，而且y（0）=0，求[ ]；

　　（3）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题