椭圆曲线ECC加密算法入门介绍（五）

六、椭圆曲线上简单的加密/解密
　　公开密钥算法总是要基于一个数学上的难题。比如RSA 依据的是：给定两个素数p、q 很容易相乘得到n，而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有什么难题呢？

　　考虑如下等式：
　　K=kG [其中 K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n（n是点G的阶）的整数]
　　不难发现，给定k和G，根据加法法则，计算K很容易；但给定K和G，求k就相对困难了。
　　这就是椭圆曲线加密算法采用的难题。我们把点G称为基点（base point），k（k

　　现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程：

　　1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。
　　2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。
　　3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。
　　4、用户B接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r　　5、用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。
　　6、用户B将C1、C2传给用户A。
　　7、用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。因为
C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
　　　再对点M进行解码就可以得到明文。

　　在这个加密通信中，如果有一个偷窥者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 都是相对困难的。因此，H无法得到A、B间传送的明文信息。

　　密码学中，描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：
T=(p,a,b,G,n,h)。
　　（p 、a 、b 用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分）

　　这几个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几个条件：

　　1、p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；
　　2、p≠n×h；
　　3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
　　4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
　　5、n 为素数；
　　6、h≤4。