椭圆曲线ECC加密算法入门介绍(三)
四、椭圆曲线上的加法
上一节,我们已经看到了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象没有什么联系。我们能不能建立一个类似于在实数轴上加法的运算法则呢?天才的数学家找到了这一运算法则
自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念,使得代数运算达到了高度的统一。比如数学家总结了普通加法的主要特征,提出了加群(也叫交换群,或Abel(阿贝尔)群),在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法没有什么区别。这也许就是数学抽象把:)。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。
运算法则:任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合,则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另一点R’,过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R。
法则详解:
▲这里的+不是实数中普通的加法,而是从普通加法中抽象出来的加法,他具备普通加法的一些性质,但具体的运算法则显然与普通加法不同。
▲根据这个法则,可以知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上一点P的连线交于P’,过P’作y轴的平行线交于P,所以有 无穷远点 O∞+ P = P 。这样,无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当(0+2=2),我们把无穷远点 O∞ 称为 零元。同时我们把P’称为P的负元(简称,负P;记作,-P)。
▲根据这个法则,可以得到如下结论 :如果椭圆曲线上的三个点A、B、C,处于同一条直线上,那么他们的和等于零元,即A+B+C= O∞
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