椭圆曲线ECC加密算法入门介绍(四)
五、密码学中的椭圆曲线
我们现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识,这是值得高兴的。但请大家注意,前面学到的椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密;所以,我们必须把椭圆曲线变成离散的点。
让我们想一想,为什么椭圆曲线为什么连续?是因为椭圆曲线上点的坐标,是实数的(也就是说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的),实数是连续的,导致了曲线的连续。因此,我们要把椭圆曲线定义在有限域上(顾名思义,有限域是一种只有由有限个元素组成的域)。
域的概念是从我们的有理数,实数的运算中抽象出来的,严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说,域中的元素同有理数一样,有自己得加法、乘法、除法、单位元(1),零元(0),并满足交换率、分配率。
下面,我们给出一个有限域Fp,这个域只有有限个元素。
Fp中只有p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1;
Fp 的加法(a+b)法则是 a+b≡c (mod p);即,(a+c)÷p的余数 和c÷p的余数相同。
Fp 的乘法(a×b)法则是 a×b≡c (mod p);
Fp 的除法(a÷b)法则是 a/b≡c (mod p);即 a×b-1≡c (mod p);(b-1也是一个0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p);具体求法可以参考初等数论,或我的另一篇文章)。
Fp 的单位元是1,零元是 0。
同时,并不是所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。下面我们就把y2=x3+ax+b 这条曲线定义在Fp上:
选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b
4a3+27b2≠0 (mod p)
则满足下列方程的所有点(x,y),再加上 无穷远点O∞ ,构成一条椭圆曲线。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y属于0到p-1间的整数,并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。
我们看一下y2=x3+x+1 (mod 23)的图像
是不是觉得不可思议?椭圆曲线,怎么变成了这般模样,成了一个一个离散的点?
椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子,但其本质仍是一条椭圆曲线。举一个不太恰当的例子,好比是水,在常温下,是液体;到了零下,水就变成冰,成了固体;而温度上升到一百度,水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。
Fp上的椭圆曲线同样有加法,但已经不能给以几何意义的解释。不过,加法法则和实数域上的差不多,请读者自行对比。
1. 无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P
2. P(x,y)的负元是 (x,-y),有P+(-P)= O∞
3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:
x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1 若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1)
例5.1 已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求1)-P,2)P+Q,3) 2P。
解 1) –P的值为(3,-10)
2) k=(7-10)/(9-3)=-1/2,2的乘法逆元为12 因为2*12≡1 (mod 23)
k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。
x=112-3-9=109≡17 (mod 23);
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
故P+Q的坐标为(17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
故2P的坐标为(7,12)
最后,我们讲一下椭圆曲线上的点的阶。
如果椭圆曲线上一点P,存在最小的正整数n,使得数乘nP=O∞,则将n称为P的 阶,若n不存在,我们说P是无限阶的。
事实上,在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n都是存在的(证明,请参考近世代数方面的书)
练习:
1. 求出E11(1,6)上所有的点。
2.已知E11(1,6)上一点G(2,7),求2G到13G所有的值。
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